习题练习

首先，由题意知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过三点：$ (1, 0) $、$ (3, 0) $、$ (0, 3) $。

因为函数过 $ (1, 0) $ 和 $ (3, 0) $，说明 $ x = 1 $ 和 $ x = 3 $ 是方程的两个根，因此可设函数为：
$$
y = a(x - 1)(x - 3)
$$
又因为函数过点 $ (0, 3) $，代入得：
$$
3 = a(0 - 1)(0 - 3) = a \cdot (-1) \cdot (-3) = 3a \Rightarrow a = 1
$$
所以函数表达式为：
$$
y = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3
$$

接下来求该函数在区间 $ [2, 4] $ 上的最大值 $ M $ 和最小值 $ m $。

二次函数 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的对称轴为：
$$
x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2
$$
开口向上，因此在区间 $ [2, 4] $ 上，最小值出现在顶点 $ x = 2 $ 处，最大值出现在离对称轴最远的端点 $ x = 4 $ 处。

计算函数值：
- 当 $ x = 2 $ 时，$ y = (2)^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 $，即 $ m = -1 $
- 当 $ x = 4 $ 时，$ y = (4)^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 $，即 $ M = 3 $

所以 $ k = M - m = 3 - (-1) = 4 $

因此正确答案是 D。