某学生用一根长度为120cm的铁丝围成一个长方形，并将其放置在平面直角坐标系中，使四个顶点坐标均为整数，且长和宽均为正整数。若该长方形对角线长度的平方为680，则其面积为___cm²。
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解析：首先，对角线AC与BD互相垂直且平分，根据平行四边形的判定定理，可知四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形）。其次，已知∠ABC = 90°，而菱形中若有一个角是直角，则其余角也为直角，因此该菱形实际上是矩形。既是菱形又是矩形的四边形是正方形。选项C准确指出了这一逻辑链条，即从条件推出四边形同时具备菱形和矩形的特征，从而得出正方形结论，是最完整且严谨的支持。选项A忽略了‘平分’这一关键条件对平行四边形判定的作用；选项B的三角形全等虽成立，但不足以直接推出所有角为直角；选项D错误地认为仅凭对角线垂直平分加一组邻边相等就能判定正方形，忽略了角度条件的重要性。因此，正确答案为C。
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练习完成！
恭喜您完成了本次练习，继续加油提升！
💡 学习建议：您在一元一次方程的应用方面掌握良好，但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":1800,"content":"某班级组织一次数学知识竞赛，参赛学生的成绩被整理成频数分布表如下：\n\n| 成绩区间（分） | 频数（人） |\n|----------------|------------|\n| 60 ≤ x < 70 | 5 |\n| 70 ≤ x < 80 | 12 |\n| 80 ≤ x < 90 | 18 |\n| 90 ≤ x ≤ 100 | 10 |\n\n已知该班参赛学生总人数为45人，且所有成绩均为整数。若将成绩按从高到低排列，则第23名学生的成绩最可能落在哪个区间？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"中等","answer":"C","explanation":"本题考查数据的整理与描述中的频数分布及中位数思想的应用。总人数为45人，将成绩从高到低排列，第23名是正中间的位置，即中位数所在位置。\n\n首先计算累计频数（从高分段开始累加）：\n- 90 ≤ x ≤ 100：10人（第1~10名）\n- 80 ≤ x < 90：18人 → 累计10 + 18 = 28人（第11~28名）\n\n因此，第23名落在第11到第28名之间，即属于“80 ≤ x < 90”这一组。\n\n虽然不能确定具体分数，但根据分组数据的中位数估计方法，第23名最可能落在80到90分区间内。\n\n故正确答案为C。","options":[{"id":"A","content":"60 ≤ x < 70"},{"id":"B","content":"70 ≤ x < 80"},{"id":"C","content":"80 ≤ x < 90"},{"id":"D","content":"90 ≤ x ≤ 100"}]},{"id":2160,"content":"某学生在数轴上标出三个有理数 a、b、c，其中 a 与 b 关于原点对称，c 是 a 与 b 之间距离的一半，且 a > 0。若 a = 6，则 c 的值是多少？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"中等","answer":"D","explanation":"因为 a = 6 且 a 与 b 关于原点对称，所以 b = -6。a 与 b 之间的距离为 |6 - (-6)| = 12。c 是该距离的一半，即 12 ÷ 2 = 6 个单位长度。但题目中 c 是位于 a 与 b 之间距离的一半位置，即从 a 向左移动 6 个单位或从 b 向右移动 6 个单位，最终都到达原点 0。因此 c = 0。","options":[{"id":"A","content":"3"},{"id":"B","content":"-3"},{"id":"C","content":"6"},{"id":"D","content":"0"}]},{"id":500,"content":"某学生调查了班级同学每天使用手机的时间（单位：分钟），并将数据整理如下：15，20，25，30，35，40，45，50，55，60。如果去掉一个最大值和一个最小值后，剩余数据的平均数是多少？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"首先确定原始数据中的最大值是60，最小值是15。去掉这两个值后，剩余的数据为：20，25，30，35，40，45，50，55，共8个数。计算这些数的和：20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 + 55 = 300。然后用总和除以数据个数：300 ÷ 8 = 37.5。因此，剩余数据的平均数是37.5，正确答案是A。","options":[{"id":"A","content":"37.5"},{"id":"B","content":"40"},{"id":"C","content":"42.5"},{"id":"D","content":"45"}]},{"id":362,"content":"某学生在平面直角坐标系中画了一个点 P，其横坐标是 -3，纵坐标比横坐标大 5，则点 P 的坐标是（ ）","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"根据题意，点 P 的横坐标是 -3。纵坐标比横坐标大 5，即纵坐标为 -3 + 5 = 2。因此点 P 的坐标是 (-3, 2)。选项 A 正确。","options":[{"id":"A","content":"(-3, 2)"},{"id":"B","content":"(3, -2)"},{"id":"C","content":"(-3, -8)"},{"id":"D","content":"(2, -3)"}]},{"id":2280,"content":"在数轴上，点A表示的数是-5，点B与点A的距离是8个单位长度，且点B在原点右侧。若点C是点A和点B之间的一个点，且AC:CB = 3:1，则点C表示的数是___。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"1","explanation":"首先，点A表示-5，点B在原点右侧且与A距离为8，因此点B表示的数是-5 + 8 = 3。点C在A和B之间，且AC:CB = 3:1，说明点C将线段AB按3:1的比例内分。根据内分点公式，点C的坐标为：(1×(-5) + 3×3) ÷ (3+1) = (-5 + 9) ÷ 4 = 4 ÷ 4 = 1。因此，点C表示的数是1。此题综合考查了数轴上的距离、位置关系以及线段的按比例分割，符合七年级数轴与有理数运算的综合应用要求。","options":[]},{"id":1861,"content":"某学生在平面直角坐标系中绘制了一个四边形ABCD，四个顶点的坐标分别为A(2, 3)、B(5, 7)、C(9, 4)、D(6, 0)。该学生想验证这个四边形是否为平行四边形，并进一步判断它是否为矩形。已知：若一个四边形的对角线互相平分，则它是平行四边形；若平行四边形的对角线长度相等，则它是矩形。请通过计算说明该四边形是否为平行四边形，如果是，再判断它是否为矩形。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解：\n\n第一步：判断四边形ABCD是否为平行四边形。\n\n根据题意，若对角线互相平分，则四边形为平行四边形。\n\n计算对角线AC和BD的中点坐标：\n\n对角线AC的两个端点为A(2, 3)、C(9, 4)，其中点坐标为：\n((2 + 9)\/2, (3 + 4)\/2) = (11\/2, 7\/2) = (5.5, 3.5)\n\n对角线BD的两个端点为B(5, 7)、D(6, 0)，其中点坐标为：\n((5 + 6)\/2, (7 + 0)\/2) = (11\/2, 7\/2) = (5.5, 3.5)\n\n因为两条对角线的中点相同，均为(5.5, 3.5)，所以对角线互相平分。\n\n因此，四边形ABCD是平行四边形。\n\n第二步：判断该平行四边形是否为矩形。\n\n根据题意，若平行四边形的对角线长度相等，则它是矩形。\n\n计算对角线AC和BD的长度：\n\nAC的长度：\n√[(9 - 2)² + (4 - 3)²] = √[7² + 1²] = √(49 + 1) = √50\n\nBD的长度：\n√[(6 - 5)² + (0 - 7)²] = √[1² + (-7)²] = √(1 + 49) = √50\n\n因为AC...","explanation":"本题综合考查平面直角坐标系中点的坐标、中点公式、两点间距离公式以及平行四边形和矩形的判定定理。解题关键在于：首先利用中点公式验证两条对角线是否互相平分，从而判断是否为平行四边形；若是，则进一步计算两条对角线的长度，若相等，则可判定为矩形。整个过程需要准确进行有理数运算和实数开方，体现了坐标几何与几何性质的综合应用。","options":[]},{"id":1355,"content":"某校组织七年级学生参加环保主题研学活动，活动分为A、B两组，每组人数不同。已知A组人数比B组多8人，若从A组调2人到B组，则A组人数恰好是B组人数的2倍。活动结束后，学校对两组学生收集的可回收垃圾重量进行了统计，发现A组平均每人收集垃圾重量比B组多0.5千克，且两组共收集了120千克垃圾。若设B组原有人数为x人，A组原有人数为y人，A组平均每人收集垃圾重量为z千克。请根据以上信息：(1) 列出关于x、y的二元一次方程组，并求出A、B两组原有的人数；(2) 用含z的代数式表示B组平均每人收集的垃圾重量，并建立关于z的一元一次方程，求出z的值；(3) 若学校规定每人至少收集3千克垃圾才能获得‘环保小卫士’称号，请判断A、B两组中哪些组的所有学生都能获得该称号，并说明理由。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(1) 根据题意，A组人数比B组多8人，可得方程：y = x + 8。\n若从A组调2人到B组，则A组变为(y - 2)人，B组变为(x + 2)人，此时A组人数是B组的2倍，得方程：y - 2 = 2(x + 2)。\n将第一个方程代入第二个方程：\n(x + 8) - 2 = 2(x + 2)\nx + 6 = 2x + 4\n6 - 4 = 2x - x\nx = 2\n代入y = x + 8，得y = 10。\n所以，B组原有2人，A组原有10人。\n\n(2) A组平均每人收集z千克，则A组共收集10z千克。\nB组平均每人收集垃圾重量为：(120 - 10z) \/ 2 = 60 - 5z（千克）。\n根据题意，A组平均比B组多0.5千克，得方程：\nz = (60 - 5z) + 0.5\nz = 60.5 - 5z\nz + 5z = 60.5\n6z = 60.5\nz = 60.5 ÷ 6 = 121\/12 ≈ 10.083（千克）\n所以，z = 121\/12 千克。\n\n(3) A组平均每人收集121\/12 ≈ 10.083千克 > 3千克，满足条件，因此A组所有学生都能获得称号。\nB组平均每人收集60 - 5z = 60 - 5×(121\/12) = 60 - 605\/12 = (720 - 605)\/12 = 115\/12 ≈ 9.583千克 > 3千克，也满足条件。\n因此，A、B两组的所有学生都能获得‘环保小卫士’称号。","explanation":"本题综合考查二元一次方程组、一元一次方程、整式运算及实际问题的建模能力。第(1)问通过人数变化建立方程组，考查学生对等量关系的理解与解方程组的能力；第(2)问引入平均数概念，结合总重量建立代数表达式并求解，涉及有理数运算与方程应用；第(3)问结合不等式思想（隐含比较），判断是否满足最低标准，体现数学在生活中的应用。题目情境新颖，融合环保主题，考查知识点全面，逻辑层次清晰，难度递进，符合困难等级要求。","options":[]},{"id":1736,"content":"某学校组织七年级学生开展‘校园植物分布调查’项目，要求学生在平面直角坐标系中绘制校园内不同植物的分布图。已知校园主干道为一条直线，其方程为 y = 2x + 1。在调查中，学生发现三棵银杏树分别位于点 A(1, a)、B(b, 7) 和 C(3, c)，且这三点都在这条主干道上。此外，学生还测量到一棵梧桐树位于点 D(4, d)，满足 d > 2×4 + 1，即该点在主干道上方。调查组进一步发现，若将点 A、B、C 的横坐标相加，再减去点 D 的纵坐标，结果为 -5。同时，点 B 到原点的距离小于 10。请根据以上信息，求出 a、b、c、d 的值，并判断点 D 是否可能位于第一象限。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解：\n\n第一步：由题意知，主干道方程为 y = 2x + 1，点 A(1, a)、B(b, 7)、C(3, c) 都在该直线上。\n\n因为点在直线上，其坐标满足直线方程：\n\n对于点 A(1, a)：代入 y = 2x + 1 得 a = 2×1 + 1 = 3 → a = 3\n\n对于点 B(b, 7)：代入得 7 = 2b + 1 → 2b = 6 → b = 3\n\n对于点 C(3, c)：代入得 c = 2×3 + 1 = 7 → c = 7\n\n所以目前得到：a = 3，b = 3，c = 7\n\n第二步：点 D(4, d) 满足 d > 2×4 + 1 = 9，即 d > 9\n\n第三步：根据条件“点 A、B、C 的横坐标相加，再减去点 D 的纵坐标，结果为 -5”\n\n即：1 + b + 3 - d = -5\n\n代入 b = 3 得：1 + 3 + 3 - d = -5 → 7 - d = -5 → d = 12\n\n验证 d > 9：12 > 9，成立。\n\n第四步：验证点 B 到原点的距离是否小于 10\n\n点 B(3, 7)，到原点距离为 √(3² + 7²) = √(9 + 49) = √58 ≈ 7.62 < 10，满足条件。\n\n第五步：判断点 D(4, 12) 是否在第一象限\n\n第一象限要求横坐标 > 0 且纵坐标 > 0，4 > 0，12 > 0，因此点 D 在第一象限。\n\n最终答案：\na = 3，b = 3，c = 7，d = 12；点 D 位于第一象限。","explanation":"本题综合考查了平面直角坐标系、一次函数（直线方程）、实数运算、不等式以及坐标几何中的距离与象限判断等多个七年级核心知识点。解题关键在于理解‘点在直线上’意味着其坐标满足直线方程，从而建立等式求解未知数。通过代入法依次求出 a、b、c，再利用给出的代数关系式（横坐标和减纵坐标等于 -5）建立方程求出 d，并结合不等式 d > 9 进行验证。最后结合距离公式和象限定义完成综合判断。题目情境新颖，融合实际调查背景，考查学生多知识点整合与逻辑推理能力，难度较高。","options":[]},{"id":665,"content":"某班级进行了一次数学测验，共收集了45名学生的成绩。老师将这些成绩按分数段整理成频数分布表，其中60分以下有5人，60～69分有8人，70～79分有12人，80～89分有15人，90分以上有___人。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"5","explanation":"题目考查的是数据的收集、整理与描述中的频数分布知识。总人数为45人，已知各分数段人数分别为5、8、12、15，将这些人数相加：5 + 8 + 12 + 15 = 40。因此，90分以上的人数为总人数减去已知人数：45 - 40 = 5。所以空白处应填5。","options":[]},{"id":2462,"content":"如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 4)，点B的坐标为(6, 0)。一次函数y = kx + b的图像经过点A和点B。点C是该函数图像上的一点，且横坐标为m（0 < m < 6）。以AC为边作等腰直角三角形ACD，使得∠ACD = 90°，且点D位于第一象限。连接BD。当△ABD为等腰三角形时，求所有可能的m值，并说明对应的点D的坐标。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","difficulty":"中等","answer":"待完善","explanation":"解析待完善","options":[]}]