某班级为了了解学生最喜欢的课外活动，随机抽取了50名学生进行调查，并将结果整理成如下频数分布表：
| 活动类型 | 频数 |
|----------|------|
| 阅读 | 12 |
| 运动 | 18 |
| 绘画 | 8 |
| 音乐 | 10 |
| 其他 | 2 |
则喜欢运动的学生所占的频率是多少？
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本题综合考查了一元一次方程的解法、相反数的概念以及代数式求值。解题关键在于：
1. **先解出已知方程的解**：通过去分母、移项、合并同类项等步骤，准确求出第二个方程的解 $ x = 5 $；
2. **利用相反数关系转化条件**：由题意，第一个方程的解为 $ -5 $，这是连接两个方程的桥梁；
3. **代入求解参数 $ a $**：将 $ x = -5 $ 代入含参方程，解出未知参数 $ a $；
4. **代数式求值**：最后将 $ a $ 的值代入目标代数式，注意运算顺序和符号处理，尤其是负数的平方和乘法。
本题难度较高，体现在需要逆向思维（由解反推参数）和多步逻辑推理，同时涉及分式方程和含参方程，对学生的综合能力要求较高，符合七年级下学期一元一次方程章节的拓展要求。
🏆
练习完成！
恭喜您完成了本次练习，继续加油提升！
💡 学习建议：您在一元一次方程的应用方面掌握良好，但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":1858,"content":"某学校组织七年级学生参加数学实践活动，要求学生测量校园内一块不规则四边形花坛ABCD的四条边长和两个对角线AC、BD的长度。测量数据如下（单位：米）：AB = 5，BC = 12，CD = 9，DA = 8，AC = 13，BD = 15。一名学生提出猜想：若将四边形ABCD分割为两个三角形ABC和ADC，则这两个三角形均为直角三角形。请判断该学生的猜想是否正确，并通过计算说明理由。若猜想正确，请进一步求出该四边形花坛的面积。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解：\n\n第一步：验证△ABC是否为直角三角形。\n已知 AB = 5，BC = 12，AC = 13。\n根据勾股定理逆定理：\n若 AB² + BC² = AC²，则△ABC为直角三角形。\n计算：\nAB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，\nAC² = 13² = 169。\n∵ AB² + BC² = AC²，\n∴ △ABC 是以∠B为直角的直角三角形。\n\n第二步：验证△ADC是否为直角三角形。\n已知 AD = 8，DC = 9，AC = 13。\n检查是否满足勾股定理：\nAD² + DC² = 8² + 9² = 64 + 81 = 145，\nAC² = 13² = 169。\n∵ 145 ≠ 169，\n∴ AD² + DC² ≠ AC²，\n即△ADC不是直角三角形。\n\n因此，该学生的猜想“两个三角形均为直角三角形”是错误的。\n\n但注意到：虽然△ADC不是直角三角形，但我们可以分别计算两个三角形的面积，再求和得到四边形面积。\n\n第三步：计算△ABC的面积。\n∵ △ABC是直角三角形，直角在B，\n∴ S₁ = (1\/2) × AB × BC = (1\/2...","explanation":"本题综合考查勾股定理逆定理、三角形面积计算（包括直角三角形和海伦公式）、实数运算及逻辑推理能力。解题关键在于分别验证两个三角形是否为直角三角形，发现仅有一个成立，从而否定猜想。随后通过分块计算面积，体现将复杂图形分解为基本图形的思想。使用海伦公式处理非直角三角形，拓展了面积计算方法，符合七年级实数与几何知识的综合运用，难度较高。","options":[]},{"id":1412,"content":"某城市计划在一条主干道上安装新型节能路灯，路灯的照明范围为一个以灯杆底部为圆心、半径为10米的圆形区域。为了确保整条道路被完全照亮且无重叠浪费，工程师决定采用交错排列的方式安装路灯：即相邻两盏路灯之间的水平距离为d米，且每盏路灯的照明区域恰好与前、后两盏路灯的照明区域相切。已知该主干道为一条直线，路灯沿道路中心线安装。现测得在一段长度为200米的道路上共安装了n盏路灯（包括起点和终点各一盏），且满足以下条件：\n\n1. 第一盏路灯安装在起点位置（坐标为0）；\n2. 最后一盏路灯安装在终点位置（坐标为200）；\n3. 所有路灯均匀分布，相邻间距均为d米；\n4. 每盏路灯的照明区域与前、后路灯的照明区域外切（即两圆外切，圆心距等于半径之和）；\n5. 整段道路被完全覆盖，无暗区。\n\n请根据以上信息，求出相邻两盏路灯之间的距离d，并确定该段道路上共安装了多少盏路灯（即求n的值）。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解：\n\n由题意可知，每盏路灯的照明区域是以灯杆为圆心、半径为10米的圆。\n\n由于相邻两盏路灯的照明区域外切，说明两圆心之间的距离等于两半径之和，即：\n\n d = 10 + 10 = 20（米）\n\n因此，相邻两盏路灯之间的距离为20米。\n\n又已知第一盏路灯安装在起点（坐标为0），最后一盏安装在终点（坐标为200），且所有路灯均匀分布，间距为20米。\n\n设共安装了n盏路灯，则从第一盏到第n盏之间有(n - 1)个间隔，每个间隔为20米，总长度为：\n\n (n - 1) × 20 = 200\n\n解这个方程：\n\n (n - 1) × 20 = 200\n n - 1 = 10\n n = 11\n\n验证照明覆盖情况：\n- 每盏灯覆盖左右各10米，即覆盖区间为[位置 - 10, 位置 + 10]；\n- 第一盏灯在0米处，覆盖[-10, 10]，实际有效覆盖[0, 10]；\n- 第二盏在20米处，覆盖[10, 30]；\n- 第三盏在40米处，覆盖[30, 50]；\n- ……\n- 第十一盏在200米处，覆盖[190, 210]，有效覆盖[190, 200]。\n\n可见，相邻照明区域在边界处恰好相接（如第一盏覆盖到10米，第二盏从10米开始），无重叠也无间隙，满足“完全覆盖且无浪费”的要求。\n\n答：相邻两盏路灯之间的距离d为20米，该段道路上共安装了11盏路灯。","explanation":"本题综合考查了几何图形初步（圆的相切）、一元一次方程（建立并求解间距与数量关系）、有理数运算（乘除与方程求解）以及实际应用建模能力。解题关键在于理解“外切”意味着圆心距等于半径之和，从而得出间距d = 20米。接着利用总长200米和等距排列的特点，建立方程(n - 1)d = 200，代入d = 20后求解n。最后还需验证照明覆盖是否连续无遗漏，体现数学建模的完整性。题目情境新颖，将几何知识与代数方程结合，难度较高，适合学有余力的七年级学生挑战。","options":[]},{"id":2243,"content":"某学生在数轴上从原点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，接着向右移动3个单位长度，最后向左移动4个单位长度。此时该学生所在位置的数与它到原点的距离的乘积是___。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"-12","explanation":"该学生从原点0出发：第一步向右移动5个单位，到达+5；第二步向左移动8个单位，到达5 - 8 = -3；第三步向右移动3个单位，到达-3 + 3 = 0；第四步向左移动4个单位，到达0 - 4 = -4。因此最终位置是-4。它到原点的距离是| -4 | = 4。位置与距离的乘积为(-4) × 4 = -12。本题综合考查数轴上的正负数移动、绝对值概念及有理数乘法，要求学生准确理解方向与符号的关系，并正确计算乘积，属于较难题型。","options":[]},{"id":1249,"content":"某学生在研究平面直角坐标系中的几何问题时，发现一个有趣的规律：若将一个点P(x, y)先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点P'；然后将点P'绕原点逆时针旋转90°，得到点P''。已知点P''的坐标为(-5, 4)，求原点P的坐标(x, y)。此外，若该点P满足不等式组：2x - y > 1 且 x + 3y ≤ 10，请验证所求得的点P是否满足该不等式组。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解：\n\n第一步：设原点P的坐标为(x, y)。\n\n根据题意，点P先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点P'。\n平移变换规则：向右平移a个单位，横坐标加a；向上平移b个单位，纵坐标加b。\n因此，P'的坐标为：\n P' = (x + 3, y + 2)\n\n第二步：将点P'绕原点逆时针旋转90°，得到点P''。\n旋转90°逆时针的坐标变换公式为：\n 若点A(a, b)绕原点逆时针旋转90°，则新坐标为(-b, a)\n\n对P'(x + 3, y + 2)应用该公式：\nP'' = (-(y + 2), x + 3) = (-y - 2, x + 3)\n\n题目已知P''的坐标为(-5, 4)，因此列出方程组：\n -y - 2 = -5\n x + 3 = 4\n\n解第一个方程：\n -y - 2 = -5\n → -y = -3\n → y = 3\n\n解第二个方程：\n x + 3 = 4\n → x = 1\n\n所以，原点P的坐标为(1, 3)。\n\n第三步：验证点P(1, 3)是否满足不等式组：\n 2x - y > 1\n x + 3y ≤ 10\n\n代入x = 1，y = 3：\n\n第一式：2(1) - 3 = 2 - 3 = -1\n -1 > 1？ 不成立。\n\n第二式：1 + 3×3 = 1 + 9 = 10\n 10 ≤ 10？ 成立。\n\n由于第一式不满足，因此点P(1, 3)不满足整个不等式组。\n\n最终答案：\n点P的坐标为(1, 3)，但该点不满足给定的不等式组。","explanation":"本题综合考查了平面直角坐标系中的平移变换、旋转变换、二元一次方程组的建立与求解，以及不等式组的验证。解题关键在于掌握坐标变换的代数表示：平移是坐标的加减，旋转90°逆时针的公式为(a, b) → (-b, a)。通过逆向推理，从P''的坐标反推出P'，再反推出P。最后将所得坐标代入不等式组进行验证，体现了数形结合与逻辑推理能力。题目设计新颖，融合了多个知识点，要求学生具备较强的综合运用能力，符合困难难度要求。","options":[]},{"id":273,"content":"在一次班级调查中，某学生记录了10名同学的身高（单位：厘米）：150，152，155，155，158，160，162，165，168，170。这组数据的中位数是多少？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"C","explanation":"中位数是将一组数据从小到大排列后，处于中间位置的数。本题共有10个数据，是偶数个，因此中位数是第5个和第6个数据的平均数。数据已按顺序排列：150，152，155，155，158，160，162，165，168，170。第5个数是158，第6个数是160。中位数为（158 + 160）÷ 2 = 318 ÷ 2 = 159。因此正确答案是C。","options":[{"id":"A","content":"155"},{"id":"B","content":"158"},{"id":"C","content":"159"},{"id":"D","content":"160"}]},{"id":1748,"content":"某城市为优化公交线路，对一条主干道的车流量进行了为期7天的观测，记录每天上午8:00至9:00通过的公交车数量。观测数据如下（单位：辆）：12, 15, 18, 15, 20, 15, 17。交通部门计划根据这些数据调整发车间隔，并规定：若某天的车流量超过平均车流量的1.2倍，则当天需增加临时班次。同时，为满足环保要求，临时班次的增加数量必须满足不等式 2x + 3 ≤ 11，其中x为增加的临时班次数量（x为非负整数）。已知每增加一个临时班次，运营成本增加200元。现需确定：在这7天中，有多少天需要增加临时班次？在这些需要增加班次的天数里，最多可以安排多少个临时班次，使得总成本不超过1000元？","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"第一步：计算7天的平均车流量。\n数据总和：12 + 15 + 18 + 15 + 20 + 15 + 17 = 112\n平均车流量：112 ÷ 7 = 16（辆）\n\n第二步：计算触发临时班次的阈值。\n1.2 × 16 = 19.2\n因此，只有当某天车流量 > 19.2 时，才需增加临时班次。\n查看数据：只有第5天的20辆 > 19.2，其余均 ≤ 19.2。\n所以，只有1天需要增加临时班次。\n\n第三步：解不等式确定最多可增加的临时班次数量。\n给定不等式：2x + 3 ≤ 11\n解：2x ≤ 8 → x ≤ 4\n又x为非负整数，所以x可取0,1,2,3,4。\n即每天最多可增加4个临时班次。\n\n第四步：计算在成本限制下的最大可安排班次总数。\n每天最多增加4个班次，共1天需要增加，因此最多可安排4个临时班次。\n每个班次成本200元，总成本为：4 × 200 = 800元 ≤ 1000元，满足条件。\n若尝试增加更多，但只有1天需要增加，且每天最多4个，故无法超过4个。\n\n最终答案：\n有1天需要增加临时班次；在这些天数里，最多可以安排4个临时班次，总成本800元，不超过1000元。","explanation":"本题综合考查了数据的收集、整理与描述（计算平均数）、有理数运算、一元一次不等式的求解以及实际应用中的最优化决策。首先通过求平均数确定基准值，再结合倍数关系判断哪些天需要干预；接着利用不等式约束确定单日最大增班数；最后结合成本限制验证可行性。题目设置了真实情境，要求学生在多步骤推理中整合多个知识点，体现数据分析与数学建模能力，符合困难难度要求。","options":[]},{"id":331,"content":"某学生在整理班级同学的身高数据时，制作了如下频数分布表：\n身高区间（cm） | 频数\n150～155 | 4\n155～160 | 7\n160～165 | 10\n165～170 | 6\n170～175 | 3\n请问这组数据的中位数最可能落在哪个身高区间？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"C","explanation":"首先计算总人数：4 + 7 + 10 + 6 + 3 = 30人。中位数是第15和第16个数据的平均值。累计频数：150～155有4人，155～160累计11人，160～165累计21人。第15和第16个数据都落在160～165区间内，因此中位数最可能位于该区间。","options":[{"id":"A","content":"150～155"},{"id":"B","content":"155～160"},{"id":"C","content":"160～165"},{"id":"D","content":"165～170"}]},{"id":1086,"content":"在一次班级环保活动中，某学生记录了5个小组一周内收集的废旧电池数量（单位：节）分别为：12、15、18、14、16。为了分析数据，该学生计算了这组数据的平均数，结果是____节。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"15","explanation":"平均数的计算方法是所有数据之和除以数据的个数。首先将5个数据相加：12 + 15 + 18 + 14 + 16 = 75。然后将总和75除以数据个数5，得到75 ÷ 5 = 15。因此，这组数据的平均数是15节。","options":[]},{"id":2203,"content":"某学生记录了连续四天的气温变化情况：第一天上升了5℃，第二天下降了3℃，第三天没有变化，第四天下降了4℃。如果用正数表示气温上升，负数表示气温下降，那么这四天的气温变化量按顺序应表示为：","type":"选择题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"根据题意，气温上升用正数表示，下降用负数表示，没有变化用0表示。第一天上升5℃，记为+5；第二天下降3℃，记为-3；第三天无变化，记为0；第四天下降4℃，记为-4。因此正确顺序为+5, -3, 0, -4，对应选项B。","options":[{"id":"A","content":"+5, +3, 0, +4"},{"id":"B","content":"+5, -3, 0, -4"},{"id":"C","content":"-5, -3, 0, -4"},{"id":"D","content":"+5, -3, 1, -4"}]},{"id":861,"content":"某学生在调查班级同学最喜欢的课外活动时，收集了以下数据：阅读、运动、绘画、音乐、编程。他将每种活动的人数整理成频数分布表后发现，喜欢运动的人数是喜欢绘画人数的2倍，喜欢音乐的人数比喜欢绘画的多3人，喜欢编程的人数最少，为4人，而喜欢阅读的人数与喜欢音乐的人数相同。如果总共有35人参与调查，那么喜欢绘画的人数是____人。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"6","explanation":"设喜欢绘画的人数为x人，则喜欢运动的人数为2x人，喜欢音乐的人数为x+3人，喜欢编程的人数为4人，喜欢阅读的人数与音乐相同，也为x+3人。根据总人数为35，列出方程：x + 2x + (x+3) + 4 + (x+3) = 35。化简得：5x + 10 = 35，解得5x = 25，x = 6。因此，喜欢绘画的人数是6人。","options":[]}]