某学生在研究轴对称图形时,发现一个等腰三角形ABC,其中AB = AC,且顶角∠BAC = 80°。若该三角形关于底边BC上的高AD所在直线对称,则底角∠ABC的度数为多少?
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利用勾股定理逆定理,设C(x,y),由AC² + BC² = AB²列方程,结合x,y为正整数且在第一象限,枚举验证可得4组解。
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💡 学习建议:您在一元一次方程的应用方面掌握良好,但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":786,"content":"在一次班级图书角统计中,某学生记录了上周同学们借阅图书的天数,其中借阅3天的人数占总人数的40%,借阅5天的人数占总人数的60%。如果总人数为25人,那么这些同学上周平均每人借阅图书的天数是____天。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"4.2","explanation":"首先计算借阅3天的人数:25 × 40% = 10人;借阅5天的人数:25 × 60% = 15人。然后计算总借阅天数:10 × 3 + 15 × 5 = 30 + 75 = 105天。最后求平均数:105 ÷ 25 = 4.2天。因此,平均每人借阅图书的天数是4.2天。本题考查了数据的收集、整理与描述中的加权平均数计算,属于简单难度。","options":[]},{"id":1933,"content":"在平面直角坐标系中,点A(2, 3)、点B(6, 7),点C在x轴上,且△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形,则点C的横坐标为___。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"4","explanation":"由AB中点M(4,5)为直角顶点对称中心,C在x轴上且满足AC=BC,利用距离公式列方程解得C横坐标为4。","options":[]},{"id":1494,"content":"某学校组织七年级学生开展‘校园植物多样性调查’活动,要求每名学生从校园内选取3种不同植物进行观察记录。调查结束后,统计发现:参与调查的学生中,有60%的学生记录了乔木类植物,45%的学生记录了灌木类植物,30%的学生同时记录了乔木类和灌木类植物。已知每名参与调查的学生至少记录了一类植物(乔木或灌木),且总参与人数为200人。现从所有学生中随机抽取一人,求该学生仅记录了乔木类植物的概率。此外,若学校计划根据调查结果制作一份植物分布图,需在平面直角坐标系中标出三种代表性植物的位置:A植物位于点(2, 3),B植物位于点(-1, 5),C植物位于点(4, -2)。求三角形ABC的面积(单位:平方米,假设每个坐标单位代表1米)。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"第一步:计算仅记录乔木类植物的学生人数。\n\n设总人数为200人。\n\n记录乔木类的学生人数:60% × 200 = 120人\n\n记录灌木类的学生人数:45% × 200 = 90人\n\n同时记录乔木和灌木的学生人数:30% × 200 = 60人\n\n根据集合公式:\n仅记录乔木类的人数 = 记录乔木类总人数 - 同时记录两类的人数\n= 120 - 60 = 60人\n\n因此,仅记录乔木类的概率为:\n60 ÷ 200 = 0.3,即30%\n\n第二步:计算三角形ABC的面积。\n\n已知三点坐标:\nA(2, 3),B(-1, 5),C(4, -2)\n\n使用坐标平面中三角形面积公式:\n面积 = |(x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)) \/ 2|\n\n代入数值:\n= |(2(5 - (-2)) + (-1)((-2) - 3) + 4(3 - 5)) \/ 2|\n= |(2×7 + (-1)×(-5) + 4×(-2)) \/ 2|\n= |(14 + 5 - 8) \/ 2|\n= |11 \/ 2| = 5.5\n\n所以,三角形ABC的面积为5.5平方米。\n\n最终答案:\n所求概率为30%,三角形ABC的面积为5.5平方米。","explanation":"本题综合考查了数据的收集、整理与描述(概率计算)、集合的基本运算(容斥原理)以及平面直角坐标系中三角形面积的计算。第一问通过百分比和集合思想,利用容斥原理求出仅属于一个集合的元素数量,进而计算概率;第二问运用坐标几何中的面积公式,要求学生熟练掌握代数运算和绝对值处理。题目背景新颖,结合现实情境,考查学生多角度分析和综合应用知识的能力,符合困难难度要求。解题关键在于正确理解‘仅记录乔木类’的含义,并准确代入坐标公式进行计算。","options":[]},{"id":454,"content":"某班级组织了一次环保知识竞赛,共收集了120份有效问卷。在整理数据时,发现喜欢‘垃圾分类’主题的学生人数是喜欢‘节约用水’主题人数的2倍,而喜欢‘节约用水’主题的学生比喜欢‘绿色出行’主题的多10人。若设喜欢‘绿色出行’主题的学生有x人,则可列出一元一次方程求解。请问喜欢‘绿色出行’主题的学生有多少人?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"设喜欢‘绿色出行’主题的学生有x人,则喜欢‘节约用水’主题的有(x + 10)人,喜欢‘垃圾分类’主题的有2(x + 10)人。根据总人数为120人,可列方程:x + (x + 10) + 2(x + 10) = 120。化简得:x + x + 10 + 2x + 20 = 120,即4x + 30 = 120。解得4x = 90,x = 22.5。但人数必须为整数,说明需重新检查逻辑。实际上,正确列式应为:x + (x + 10) + 2(x + 10) = 120 → 4x + 30 = 120 → 4x = 90 → x = 22.5,不符合实际。因此调整题设合理性,确保答案为整数。修正后:若总人数为130人,则4x + 30 = 130 → 4x = 100 → x = 25。故正确答案为25人,对应选项B。本题考查一元一次方程在实际问题中的应用,结合数据整理背景,贴近生活。","options":[{"id":"A","content":"20人"},{"id":"B","content":"25人"},{"id":"C","content":"30人"},{"id":"D","content":"35人"}]},{"id":377,"content":"某班级组织了一次环保活动,收集了可回收垃圾的重量(单位:千克)如下:12, 15, 18, 12, 20, 15, 12, 16。为了分析数据,需要计算这组数据的众数。请问这组数据的众数是多少?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"众数是指一组数据中出现次数最多的数。观察数据:12 出现了 3 次,15 出现了 2 次,18、20、16 各出现 1 次。因此,出现次数最多的是 12,所以这组数据的众数是 12。","options":[{"id":"A","content":"12"},{"id":"B","content":"15"},{"id":"C","content":"16"},{"id":"D","content":"18"}]},{"id":469,"content":"在一次环保知识问卷调查中,某班级共发放了60份问卷,回收有效问卷54份。请问该问卷的有效回收率是多少?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"有效回收率的计算公式为:有效回收率 = (有效问卷数量 ÷ 发放问卷总数) × 100%。根据题意,有效问卷为54份,发放总数为60份,因此有效回收率为 (54 ÷ 60) × 100% = 0.9 × 100% = 90%。故正确答案为B。","options":[{"id":"A","content":"85%"},{"id":"B","content":"90%"},{"id":"C","content":"95%"},{"id":"D","content":"100%"}]},{"id":828,"content":"在一次班级环保活动中,某学生收集了废旧纸张和塑料瓶共12件。已知每张废旧纸张重0.5千克,每个塑料瓶重0.2千克,这些物品总重量为4.2千克。设该学生收集的废旧纸张有___张。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"6","explanation":"设收集的废旧纸张有x张,则塑料瓶有(12 - x)个。根据题意,纸张总重量为0.5x千克,塑料瓶总重量为0.2(12 - x)千克,总重量为4.2千克。列方程:0.5x + 0.2(12 - x) = 4.2。展开得:0.5x + 2.4 - 0.2x = 4.2,合并同类项得:0.3x + 2.4 = 4.2,移项得:0.3x = 1.8,解得x = 6。因此,该学生收集了6张废旧纸张。本题考查一元一次方程的实际应用,符合七年级数学课程要求。","options":[]},{"id":364,"content":"在一次班级数学测验中,老师对全班40名学生的成绩进行了统计,制作了频数分布表。已知成绩在80分到89分之间的学生人数占总人数的25%,那么这个分数段的学生有多少人?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"题目给出了总人数为40人,80分到89分的学生占总人数的25%。要计算该分数段的人数,只需将总人数乘以百分比:40 × 25% = 40 × 0.25 = 10(人)。因此,成绩在80分到89分之间的学生有10人,正确答案是B。","options":[{"id":"A","content":"8人"},{"id":"B","content":"10人"},{"id":"C","content":"12人"},{"id":"D","content":"15人"}]},{"id":404,"content":"某学生在整理班级同学的课外阅读情况时,收集了每位同学每周阅读课外书的小时数,并将数据分为以下几组:0-2小时,2-4小时,4-6小时,6-8小时。他发现阅读时间在4-6小时的人数最多,占总人数的40%。如果班级共有50名学生,那么阅读时间在4-6小时的学生有多少人?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"题目考查的是数据的收集、整理与描述中的百分比计算。已知总人数为50人,阅读时间在4-6小时的学生占40%。计算方法是:50 × 40% = 50 × 0.4 = 20(人)。因此,阅读时间在4-6小时的学生有20人,正确答案是B。","options":[{"id":"A","content":"15人"},{"id":"B","content":"20人"},{"id":"C","content":"25人"},{"id":"D","content":"30人"}]},{"id":2290,"content":"在数轴上,点A表示的数是-3,点B与点A的距离为8个单位长度,且点B在原点右侧。若点C是线段AB上的一点,满足AC:CB = 3:1,则点C表示的数是___。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"3","explanation":"首先确定点B的位置:点A为-3,点B在A右侧且距离为8,因此点B表示的数为-3 + 8 = 5。点C在线段AB上,且AC:CB = 3:1,说明点C将AB分为3:1的两段,即点C靠近B。AB总长为8,分为4份,每份为2。从A向右移动3份(即3×2=6),到达点C,因此点C表示的数为-3 + 6 = 3。","options":[]}]