某学生在整理班级同学最喜欢的运动项目数据时,制作了如下频数分布表。已知喜欢跳绳的人数是喜欢踢毽子的2倍,且喜欢跳绳和踢毽子的总人数为36人。如果喜欢打篮球的人数比喜欢踢毽子的多6人,那么喜欢打篮球的有多少人?
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本题综合考查了数据的收集、整理与描述(计算平均数)、有理数的运算、一元一次不等式的建立与求解,以及实际问题的数学建模能力。解题关键在于理解‘运力’‘载客率’‘安全余量’等实际概念,并将其转化为数学表达式。首先通过平均数反映整体水平,再结合比例和倍数关系计算实际需求与供给,最后利用不等式确定最小整数解。题目情境新颖,贴近现实生活,避免了常见的应用题模式,强调多步骤推理与综合应用能力,符合困难难度要求。
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💡 学习建议:您在一元一次方程的应用方面掌握良好,但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":1709,"content":"已知关于x的一元一次方程 $ 3(a - 2x) = 5x + 2a $ 的解与方程 $ \\frac{2x - 1}{3} = x - 2 $ 的解互为相反数。求代数式 $ a^2 - 4a + 5 $ 的值。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"**解题步骤:**\n\n**第一步:求第二个方程的解**\n\n解方程:$ \\frac{2x - 1}{3} = x - 2 $\n\n两边同乘以3,去分母:\n$$\n2x - 1 = 3(x - 2)\n$$\n展开右边:\n$$\n2x - 1 = 3x - 6\n$$\n移项:\n$$\n2x - 3x = -6 + 1\n$$\n$$\n-x = -5\n$$\n解得:\n$$\nx = 5\n$$\n\n所以,第二个方程的解是 $ x = 5 $。\n\n根据题意,第一个方程的解与它互为相反数,因此第一个方程的解为 $ x = -5 $。\n\n**第二步:将 $ x = -5 $ 代入第一个方程,求 $ a $ 的值**\n\n第一个方程:$ 3(a - 2x) = 5x + 2a $\n\n代入 $ x = -5 $:\n$$\n3(a - 2 \\times (-5)) = 5 \\times (-5) + 2a\n$$\n$$\n3(a + 10) = -25 + 2a\n$$\n$$\n3a + 30 = -25 + 2a\n$$\n移项:\n$$\n3a - 2a = -25 - 30\n$$\n$$\na = -55\n$$\n\n**第三步:求代数式 $ a^2 - 4a + 5 $ 的值**\n\n将 $ a = -55 $ 代入:\n$$\n(-55)^2 - 4 \\times (-55) + 5 = 3025 + 220 + 5 = 3250\n$$\n\n**最终答案:** $ \\boxed{3250} $","explanation":"本题综合考查了一元一次方程的解法、相反数的概念以及代数式求值。解题关键在于:\n\n1. **先解出已知方程的解**:通过去分母、移项、合并同类项等步骤,准确求出第二个方程的解 $ x = 5 $;\n2. **利用相反数关系转化条件**:由题意,第一个方程的解为 $ -5 $,这是连接两个方程的桥梁;\n3. **代入求解参数 $ a $**:将 $ x = -5 $ 代入含参方程,解出未知参数 $ a $;\n4. **代数式求值**:最后将 $ a $ 的值代入目标代数式,注意运算顺序和符号处理,尤其是负数的平方和乘法。\n\n本题难度较高,体现在需要逆向思维(由解反推参数)和多步逻辑推理,同时涉及分式方程和含参方程,对学生的综合能力要求较高,符合七年级下学期一元一次方程章节的拓展要求。","options":[]},{"id":510,"content":"某学生在整理班级同学最喜欢的课外活动调查数据时,将结果绘制成扇形统计图。已知喜欢阅读的同学所占圆心角为72度,喜欢运动的同学所占圆心角为108度,喜欢绘画的同学所占圆心角为60度,其余同学喜欢音乐。如果全班共有60人,那么喜欢音乐的同学有多少人?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"扇形统计图中,整个圆代表全班人数,圆心角总和为360度。已知阅读、运动、绘画对应的圆心角分别为72度、108度、60度,三者之和为72 + 108 + 60 = 240度。因此,喜欢音乐的同学所占圆心角为360 - 240 = 120度。由于圆心角与人数成正比,可列比例计算:120 ÷ 360 = 1\/3,所以喜欢音乐的人数为60 × (1\/3) = 20人。故正确答案为B。","options":[{"id":"A","content":"18人"},{"id":"B","content":"20人"},{"id":"C","content":"22人"},{"id":"D","content":"24人"}]},{"id":2509,"content":"某学生设计了一个圆形花坛,花坛中心有一根垂直的灯柱。灯柱顶端投射出的光线在地面上形成一个圆锥形的照明区域。已知灯柱高为3米,光线与地面的夹角为60°,则照明区域在地面上的圆形半径是多少米?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"九年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"本题考查锐角三角函数的应用。灯柱垂直于地面,高度为3米,光线与地面夹角为60°,即光线与灯柱之间的夹角为30°。在由灯柱、地面半径和光线构成的直角三角形中,灯柱为邻边,地面半径为对边,夹角为30°。利用正切函数:tan(30°) = 对边 \/ 邻边 = r \/ 3。因为 tan(30°) = √3 \/ 3,所以 r = 3 × (√3 \/ 3) = √3。因此,照明区域的半径为√3米,正确答案为A。","options":[{"id":"A","content":"√3"},{"id":"B","content":"3"},{"id":"C","content":"3√3"},{"id":"D","content":"6"}]},{"id":1325,"content":"某学生在研究平面直角坐标系中的几何图形时,发现一个动点P从原点O(0,0)出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动。同时,另一个动点Q从点A(0,6)出发,沿直线y = -x + 6以每秒√2个单位的速度向x轴正方向匀速运动。设运动时间为t秒(t ≥ 0),当点P和点Q之间的距离最小时,求此时的时间t的值以及最小距离。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解:\n\n设运动时间为t秒。\n\n点P从原点O(0,0)出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,因此点P的坐标为:\n P(t) = (t, 0)\n\n点Q从点A(0,6)出发,沿直线y = -x + 6运动,速度为每秒√2个单位。\n\n直线y = -x + 6的方向向量为(1, -1),其模长为√(1² + (-1)²) = √2。\n因此单位方向向量为(1\/√2, -1\/√2)。\n\n点Q以每秒√2个单位的速度沿此方向运动,t秒后移动的总距离为√2 × t。\n因此点Q的坐标为:\n Q(t) = (0,6) + √2 × t × (1\/√2, -1\/√2)\n = (0,6) + t × (1, -1)\n = (t, 6 - t)\n\n现在,点P(t, 0),点Q(t, 6 - t)\n\n两点之间的距离d(t)为:\n d(t) = √[(t - t)² + (0 - (6 - t))²]\n = √[0 + (t - 6)²]\n = |t - 6|\n\n由于t ≥ 0,且|t - 6|在t = 6时取得最小值0。\n\n因此,当t = 6秒时,点P和点Q之间的距离最小,最小距离为0。\n\n验证:当t = 6时,\n P(6) = (6, 0)\n Q(6) = (6, 6 - 6) = (6, 0)\n两点重合,距离为0,符合。\n\n答:当t = 6秒时,点P与点Q之间的距离最小,最小距离为0。","explanation":"本题综合考查了平面直角坐标系、点的坐标表示、匀速运动、距离公式以及函数最值的思想。解题关键在于正确建立两个动点的坐标关于时间t的函数表达式。点P的运动简单,沿x轴匀速运动,坐标易得。点Q沿直线y = -x + 6运动,需理解其方向向量和速度的关系,通过单位方向向量与速度相乘得到位移向量,从而得到坐标。得到两点坐标后,利用两点间距离公式建立距离函数d(t) = |t - 6|,这是一个绝对值函数,在t = 6时取得最小值0。本题难点在于理解点Q的运动轨迹和速度分解,以及如何将几何运动转化为代数表达式,体现了数形结合与函数建模的思想,符合七年级学生对平面直角坐标系和函数初步的认知水平,但综合性和思维深度达到困难级别。","options":[]},{"id":271,"content":"6人","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","difficulty":"简单","answer":"答案待完善","explanation":"解析待完善","options":[]},{"id":1571,"content":"某城市计划在一条东西走向的主干道旁建设一个矩形绿化带,绿化带的一边紧邻道路(作为矩形的一条边),其余三边用围栏围成。已知可用于围栏的总长度为60米。为了便于管理,绿化带被划分为两个面积相等的矩形区域,中间用一条与道路垂直的围栏隔开。设绿化带垂直于道路的一边长度为x米,平行于道路的一边长度为y米。\n\n(1)请用含x的代数式表示y,并写出x的取值范围;\n(2)若绿化带的总面积S表示为关于x的函数,求S的最大值及此时x和y的值;\n(3)在实际施工中发现,由于地下管线限制,绿化带平行于道路的一边长度y必须满足y ≥ 18米。在此条件下,求绿化带面积S的最大值,并说明此时是否符合原始设计中对两个区域面积相等的要求。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(1)由题意,绿化带三边围栏加中间一条分隔围栏,总长度为:2x + y + x = 3x + y(因为两边垂直于道路各长x,中间分隔也长x,平行于道路的一边为y)。\n已知总围栏长度为60米,故有:\n3x + y = 60\n解得:y = 60 - 3x\n\n由于长度必须为正数,故x > 0,y = 60 - 3x > 0 ⇒ x < 20\n所以x的取值范围是:0 < x < 20\n\n(2)绿化带总面积S = x × y = x(60 - 3x) = 60x - 3x²\n这是一个关于x的二次函数,开口向下,最大值出现在顶点处。\n顶点横坐标:x = -b\/(2a) = -60 \/ (2 × (-3)) = 10\n当x = 10时,y = 60 - 3×10 = 30\nS = 10 × 30 = 300(平方米)\n所以S的最大值为300平方米,此时x = 10米,y = 30米。\n\n(3)新增条件:y ≥ 18\n由y = 60 - 3x ≥ 18 ⇒ 60 - 3x ≥ 18 ⇒ 3x ≤ 42 ⇒ x ≤ 14\n结合(1)中x < 20,现在x的取值范围为:0 < x ≤ 14\n\n函数S = 60x - 3x²在区间(0, 14]上单调性分析:\n该二次函数对称轴为x = 10,开口向下,因此在(0,10]上递增,在[10,14]上递减。\n所以在x = 10时取得最大值,但x = 10 ≤ 14,满足新约束。\n此时y = 30 ≥ 18,满足条件。\n因此,在y ≥ 18的条件下,S的最大值仍为300平方米,对应x = 10,y = 30。\n\n由于绿化带被中间一条与道路垂直的围栏均分为两个小矩形,每个小矩形面积为(1\/2)xy = (1\/2)×10×30 = 150平方米,面积相等,符合原始设计要求。","explanation":"本题综合考查了一元一次方程、整式的加减、不等式与不等式组、函数思想及最值问题,属于应用型难题。第(1)问通过分析围栏结构建立等量关系,列出一元一次方程并转化为表达式,同时考虑实际意义确定变量的取值范围;第(2)问将面积表示为二次函数,利用顶点公式求最大值,体现函数建模能力;第(3)问引入不等式约束,结合函数单调性分析最值是否受限制影响,并验证设计要求的满足情况,考查逻辑推理与综合运用能力。题目背景贴近生活,结构层层递进,难度较高,适合七年级优秀学生挑战。","options":[]},{"id":2154,"content":"某学生在解一个关于一元一次方程的问题时,列出了方程 3(x - 2) = 2x + 1。该方程的解是下列哪一个?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"解方程 3(x - 2) = 2x + 1:首先去括号得 3x - 6 = 2x + 1,移项得 3x - 2x = 1 + 6,合并同类项得 x = 7。因此正确答案是 B。","options":[{"id":"A","content":"x = 5"},{"id":"B","content":"x = 7"},{"id":"C","content":"x = -5"},{"id":"D","content":"x = -7"}]},{"id":1083,"content":"在一次班级环保活动中,某学生收集了可回收垃圾的重量记录如下:第一天收集 1.5 千克,第二天比第一天多收集 0.8 千克,第三天比第二天少收集 0.3 千克。这三天该学生平均每天收集可回收垃圾____千克。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"小学","difficulty":"简单","answer":"1.9","explanation":"首先计算每天收集的重量:第一天为 1.5 千克;第二天为 1.5 + 0.8 = 2.3 千克;第三天为 2.3 - 0.3 = 2.0 千克。三天总重量为 1.5 + 2.3 + 2.0 = 5.8 千克。平均每天收集量为 5.8 ÷ 3 = 1.933...,保留一位小数后为 1.9 千克。本题考查有理数的加减与除法运算,以及平均数的计算,符合七年级‘有理数’和‘数据的收集、整理与描述’知识点。","options":[]},{"id":1770,"content":"某学生在平面直角坐标系中画出一个三角形,三个顶点的坐标分别为 A(2, 3)、B(6, 7)、C(4, -1)。若将该三角形先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,得到新三角形 A'B'C',则点 B' 的坐标为____。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(9, 5)","explanation":"点 B(6, 7) 向右平移 3 个单位,横坐标加 3 得 9;向下平移 2 个单位,纵坐标减 2 得 5。因此 B' 坐标为 (9, 5)。","options":[]},{"id":1929,"content":"在平面直角坐标系中,点A(2, 3)、点B(5, y)、点C(x, 7)共线,且线段AC的中点在直线y = 2x - 1上,则x + y的值为____。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"11","explanation":"利用三点共线斜率相等得(y-3)\/3 = (7-y)\/(x-5),中点((2+x)\/2, 5)代入直线方程得5 = 2·((2+x)\/2) -1,解得x=6,代入得y=5,故x+y=11。","options":[]}]