某学生在整理班级同学的身高数据时,制作了如下频数分布表:
身高区间(cm) | 频数
--------------|------
140~145 | 3
145~150 | 5
150~155 | 8
155~160 | 10
160~165 | 4
若该班共有30名学生,则身高在150cm及以上的学生人数占全班人数的百分比是多少?
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众数是一组数据中出现次数最多的数。观察数据:152出现1次,158出现3次,160出现2次,155出现1次,162出现1次,156出现1次,161出现1次。其中158出现的次数最多,共3次,因此这组数据的众数是158。
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💡 学习建议:您在一元一次方程的应用方面掌握良好,但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":888,"content":"在一次班级图书捐赠活动中,某学生第一天捐出了自己藏书的一半多2本,第二天又捐出了剩下的3本,此时他手中还剩5本图书。那么这名学生最初有___本图书。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"20","explanation":"设这名学生最初有 x 本图书。第一天捐出 (1\/2)x + 2 本,则剩下 x - [(1\/2)x + 2] = (1\/2)x - 2 本。第二天捐出3本后,剩下 [(1\/2)x - 2] - 3 = (1\/2)x - 5 本。根据题意,此时还剩5本,因此列出方程:(1\/2)x - 5 = 5。解这个一元一次方程:(1\/2)x = 10,得 x = 20。所以这名学生最初有20本图书。","options":[]},{"id":729,"content":"在一次班级环保活动中,某学生收集了塑料瓶和纸张两类可回收物。已知塑料瓶每3个可换1积分,纸张每5张可换1积分,该学生共获得12积分,且收集的塑料瓶数量比纸张数量多10个。若设收集的纸张数量为x张,则可列出一元一次方程为:____ + ____ = 12,解得x = ____。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"x\/5, (x+10)\/3, 25","explanation":"设收集的纸张数量为x张,则塑料瓶数量为(x + 10)个。根据题意,纸张每5张换1积分,可得纸张积分为x\/5;塑料瓶每3个换1积分,可得塑料瓶积分为(x + 10)\/3。总积分为12,因此方程为x\/5 + (x + 10)\/3 = 12。解这个方程:两边同乘15得3x + 5(x + 10) = 180,即3x + 5x + 50 = 180,8x = 130,x = 25。故答案依次为x\/5、(x+10)\/3、25。","options":[]},{"id":1429,"content":"某城市地铁系统正在进行客流量数据分析。已知某条线路在早高峰期间(7:00—9:00)的乘客到达情况如下:每5分钟为一个统计时段,共24个时段。统计发现,前12个时段的平均客流量比后12个时段少180人,且整个早高峰期间总客流量为12960人。若设前12个时段的平均客流量为x人,后12个时段的平均客流量为y人。\n\n(1)根据题意列出关于x和y的二元一次方程组;\n(2)解该方程组,求出x和y的值;\n(3)若地铁公司规定,当某时段客流量超过600人时,需增派工作人员。问:后12个时段中有多少个时段需要增派工作人员?(假设每个时段的客流量等于该时段的平均客流量)\n(4)为进一步优化调度,地铁公司计划将总客流量按每100人一组进行分组统计。请计算共可分成多少组?余下多少人?","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(1)根据题意,前12个时段的平均客流量为x人,后12个时段为y人。\n前12个时段总客流量为12x,后12个时段为12y。\n整个早高峰共24个时段,总客流量为12960人,因此有:\n12x + 12y = 12960\n又已知前12个时段的平均客流量比后12个时段少180人,即:\nx = y - 180\n所以方程组为:\n12x + 12y = 12960\nx = y - 180\n\n(2)将第二个方程代入第一个方程:\n12(y - 180) + 12y = 12960\n12y - 2160 + 12y = 12960\n24y - 2160 = 12960\n24y = 12960 + 2160 = 15120\ny = 15120 ÷ 24 = 630\n代入x = y - 180得:\nx = 630 - 180 = 450\n所以,x = 450,y = 630\n\n(3)后12个时段的平均客流量为630人,每个时段客流量为630人。\n规定超过600人需增派工作人员,630 > 600,因此每个后12个时段都需要增派。\n共12个时段需要增派工作人员。\n\n(4)总客流量为12960人,按每100人一组分组:\n12960 ÷ 100 = 129 余 60\n所以可分成129组,余下60人。","explanation":"本题综合考查二元一次方程组、有理数运算、不等式判断及数据整理能力。第(1)问要求学生从实际问题中抽象出数学模型,建立方程组;第(2)问考查代入法解方程组的基本技能;第(3)问结合不等关系进行逻辑判断,体现数学应用意识;第(4)问涉及带余除法在实际数据分组中的应用,强化数据处理能力。题目背景新颖,贴近现实,考查点多维,逻辑链条完整,符合困难难度要求。","options":[]},{"id":580,"content":"某班级进行了一次数学测验,成绩分布如下表所示。老师想计算全班的平均分,但发现表格中缺少一个数据。已知全班共有40名学生,其中90分以上有8人,80~89分有12人,70~79分有10人,60~69分有x人,60分以下有5人。如果全班平均分为75分,那么60~69分的学生人数x是多少?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"C","explanation":"首先根据总人数建立方程:8 + 12 + 10 + x + 5 = 40,解得x = 5。接着验证平均分是否合理:假设各分数段取中间值计算总分,90分以上按95分计,80~89按85分计,70~79按75分计,60~69按65分计,60分以下按55分计。则总分为:8×95 + 12×85 + 10×75 + 5×65 + 5×55 = 760 + 1020 + 750 + 325 + 275 = 3130。平均分为3130 ÷ 40 = 78.25,略高于75,说明估算偏高,但题目仅要求通过人数关系求解x,而人数总和必须为40,因此x = 5是唯一满足条件的整数解。本题考查数据的收集与整理以及一元一次方程的应用,难度为简单。","options":[{"id":"A","content":"3"},{"id":"B","content":"4"},{"id":"C","content":"5"},{"id":"D","content":"6"}]},{"id":1534,"content":"某学校组织七年级学生开展‘城市绿地规划’数学实践活动。活动要求学生在平面直角坐标系中设计一个矩形绿化区域,其四个顶点坐标均为整数,且满足以下条件:\n\n1. 矩形的一组对边平行于x轴,另一组对边平行于y轴;\n2. 矩形的周长为20个单位长度;\n3. 矩形的面积不小于24个单位面积;\n4. 矩形完全位于第一象限,且其左下角顶点位于原点(0, 0);\n5. 设矩形的右上角顶点坐标为(x, y),其中x和y均为正整数。\n\n现从所有满足上述条件的矩形中随机选取一个,求该矩形的面积恰好为24的概率。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解:\n\n由题意,矩形左下角顶点为(0, 0),右上角顶点为(x, y),其中x > 0,y > 0,且x、y均为正整数。\n\n因为矩形对边分别平行于坐标轴,所以其长为x,宽为y。\n\n根据条件2:周长为20,\n即:2(x + y) = 20 \n⇒ x + y = 10 \n(方程①)\n\n根据条件3:面积不小于24,\n即:xy ≥ 24 \n(不等式②)\n\n又x、y为正整数,且x + y = 10,我们可以列出所有满足方程①的正整数解:\n\n(x, y) 的可能组合为:\n(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)\n\n计算每种组合的面积xy:\n1×9 = 9 < 24 → 不满足\n2×8 = 16 < 24 → 不满足\n3×7 = 21 < 24 → 不满足\n4×6 = 24 ≥ 24 → 满足\n5×5 = 25 ≥ 24 → 满足\n6×4 = 24 ≥ 24 → 满足\n7×3 = 21 < 24 → 不满足\n8×2 = 16 < 24 → 不满足\n9×1 = 9 < 24 → 不满足\n\n因此,满足所有条件的(x, y)组合有:\n(4,6), (5,5), (6,4)\n共3种。\n\n其中,面积恰好为24的有:(4,6) 和 (6,4),共2种。\n\n注意:虽然(4,6)和(6,4)表示不同的矩形(长宽不同),但在坐标系中它们是不同的图形,应视为两个不同的矩形。\n\n因此,所求概率为:\n满足条件的矩形总数:3\n面积恰好为24的矩形数:2\n\n概率 = 2 \/ 3\n\n答:该矩形的面积恰好为24的概率是 2\/3。","explanation":"本题综合考查了平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组以及数据的整理与描述等知识点。解题关键在于:\n\n1. 利用矩形顶点坐标与边长的关系,将几何问题转化为代数问题;\n2. 由周长条件建立方程 x + y = 10;\n3. 由面积条件建立不等式 xy ≥ 24;\n4. 枚举所有满足方程的正整数解,并结合不等式筛选出符合条件的解;\n5. 在满足所有条件的样本空间中,计算目标事件(面积为24)发生的概率。\n\n本题难度较高,体现在需要综合运用多个知识点,并进行分类讨论与逻辑推理。同时,题目情境新颖,避免了传统应用题的套路,强调数学建模与数据分析能力,符合七年级数学课程的综合应用要求。","options":[]},{"id":283,"content":"某学生在平面直角坐标系中描出三个点 A(1, 2)、B(3, 2) 和 C(3, 5),然后连接这三个点形成一个三角形。这个三角形最可能的形状是:","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"首先,根据坐标描点:点 A(1, 2) 和点 B(3, 2) 的 y 坐标相同,说明 AB 是一条水平线段,长度为 |3 - 1| = 2。点 B(3, 2) 和点 C(3, 5) 的 x 坐标相同,说明 BC 是一条竖直线段,长度为 |5 - 2| = 3。因此,AB 与 BC 互相垂直,在点 B 处形成直角。根据定义,有一个角是直角的三角形是直角三角形。所以这个三角形最可能是直角三角形。","options":[{"id":"A","content":"等边三角形"},{"id":"B","content":"直角三角形"},{"id":"C","content":"钝角三角形"},{"id":"D","content":"锐角三角形"}]},{"id":1232,"content":"某城市计划在一条主干道上安装智能交通信号灯系统。为了优化交通流量,工程师需要根据车流数据调整信号灯的绿灯时长。已知某十字路口南北方向的车流量是东西方向的1.5倍。若将南北方向的绿灯时间设为x秒,东西方向为y秒,且一个完整的信号周期总时长不超过120秒。同时,为确保行人安全,每个方向的绿灯时间不得少于20秒。此外,根据交通模型分析,南北方向每增加1秒绿灯时间,可多通过3辆车;东西方向每增加1秒绿灯时间,可多通过2辆车。若目标是使一个周期内通过路口的车辆总数最大化,求x和y的最优值,并计算此时一个周期内最多可通过多少辆车。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"设南北方向绿灯时间为x秒,东西方向为y秒。\n\n根据题意,列出约束条件:\n1. 信号周期总时长不超过120秒:x + y ≤ 120\n2. 每个方向绿灯时间不少于20秒:x ≥ 20,y ≥ 20\n3. 车流量关系:南北方向车流量是东西方向的1.5倍(此信息用于理解背景,但不直接参与方程建立,因目标函数已基于单位时间通过车辆数)\n\n目标函数:一个周期内通过的总车辆数\n南北方向每秒钟通过3辆车,共通过3x辆;\n东西方向每秒钟通过2辆车,共通过2y辆;\n总车辆数:S = 3x + 2y\n目标是最大化S = 3x + 2y\n\n这是一个线性规划问题,在约束条件下求最大值。\n\n可行域的顶点由约束条件交点确定:\n约束条件:\nx + y ≤ 120\nx ≥ 20\ny ≥ 20\n\n求可行域顶点:\n(1) x = 20, y = 20 → S = 3×20 + 2×20 = 60 + 40 = 100\n(2) x = 20, y = 100(由x + y = 120得)→ S = 3×20 + 2×100 = 60 + 200 = 260\n(3) x = 100, y = 20(由x + y = 120得)→ S = 3×100 + 2×20 = 300 + 40 = 340\n\n比较三个顶点处的S值:\nS(20,20) = 100\nS(20,100) = 260\nS(100,20) = 340\n\n最大值为340,当x = 100,y = 20时取得。\n\n验证是否满足所有条件:\nx = 100 ≥ 20,y = 20 ≥ 20,x + y = 120 ≤ 120,满足。\n\n因此,最优解为:\n南北方向绿灯时间x = 100秒,\n东西方向绿灯时间y = 20秒,\n一个周期内最多可通过车辆数为340辆。\n\n答:x = 100,y = 20,最多可通行340辆车。","explanation":"本题综合考查二元一次不等式组、线性目标函数的最大值问题,属于不等式与不等式组在实际问题中的应用,同时涉及数据的收集与整理(车流量、通行效率)以及优化思想。解题关键在于将实际问题转化为数学不等式组,并识别目标函数。通过分析可行域的顶点(线性规划基本原理),计算目标函数在各顶点的取值,找出最大值。本题难度较高,要求学生具备较强的建模能力、逻辑推理能力和不等式组的综合应用能力,符合七年级‘不等式与不等式组’和‘数据的收集、整理与描述’的知识范畴,且情境新颖,避免常见题型重复。","options":[]},{"id":418,"content":"28","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","difficulty":"简单","answer":"待完善","explanation":"解析待完善","options":[]},{"id":1285,"content":"某学校七年级组织学生参加数学实践活动,需将一批学习用品分发给若干个小组。若每组分配8件,则剩余12件;若每组分配10件,则最后一组不足6件但至少分到1件。已知小组数量为正整数,且学习用品总数不超过150件。求满足条件的小组数量和学习用品总数的所有可能组合,并说明理由。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"设小组数量为x(x为正整数),学习用品总数为y(y为正整数,且y ≤ 150)。\n\n根据题意,第一种分配方式:每组8件,剩余12件,可得方程:\n y = 8x + 12 (1)\n\n第二种分配方式:每组10件,最后一组不足6件但至少1件,即最后一组分到的件数在1到5之间(含1和5)。这意味着前(x - 1)组每组分10件,最后一组分得的件数为 y - 10(x - 1),且满足:\n 1 ≤ y - 10(x - 1) < 6 (2)\n\n将(1)式代入(2)式:\n 1 ≤ (8x + 12) - 10(x - 1) < 6\n\n化简中间表达式:\n (8x + 12) - 10x + 10 = -2x + 22\n\n所以不等式变为:\n 1 ≤ -2x + 22 < 6\n\n解这个复合不等式:\n\n先解左边:1 ≤ -2x + 22 \n → -21 ≤ -2x \n → x ≤ 10.5\n\n再解右边:-2x + 22 < 6 \n → -2x < -16 \n → x > 8\n\n因为x为正整数,所以x的取值范围为:8 < x ≤ 10.5,即x = 9 或 x = 10\n\n分别代入(1)式求y:\n\n当x = 9时,y = 8×9 + 12 = 72 + 12 = 84\n验证第二种分配:前8组分10件,共80件,最后一组分84 - 80 = 4件,满足1 ≤ 4 < 6,符合条件。\n\n当x = 10时,y = 8×10 + 12 = 80 + 12 = 92\n验证第二种分配:前9组分10件,共90件,最后一组分92 - 90 = 2件,满足1 ≤ 2 < 6,符合条件。\n\n检查是否满足y ≤ 150:84 ≤ 150,92 ≤ 150,均满足。\n\n因此,满足条件的所有可能组合为:\n 小组数量为9,学习用品总数为84;\n 小组数量为10,学习用品总数为92。\n\n答:满足条件的小组数量和学习用品总数的组合为(9,84)和(10,92)。","explanation":"本题综合考查了一元一次方程、不等式组以及实际应用问题的建模能力。首先根据第一种分配方式建立方程y = 8x + 12;再根据第二种分配方式中‘最后一组不足6件但至少1件’这一关键条件,建立不等式1 ≤ y - 10(x - 1) < 6。通过代入消元法将方程代入不等式,转化为关于x的一元一次不等式组,求解整数解。最后验证每种情况是否满足所有条件,包括总数限制。解题过程中需注意不等式的方向变化(除以负数时不等号方向改变),并强调实际意义中对整数解和范围限制的处理。","options":[]},{"id":1322,"content":"某城市为优化公交线路,对一条主干道的车流量进行了为期7天的观测,记录每天上午8:00至9:00的车辆通行数量(单位:辆)如下:320,345,332,358,340,367,350。交通部门计划根据这组数据制定新的公交发车间隔方案。已知公交车的平均载客量为40人,每辆车每小时最多运行2个单程,且每辆公交车每天最多工作8小时。若要求在任何观测时段内,公交车运力至少能满足该时段车流量的15%(假设每辆车平均载客1.2人),同时总运营成本不能超过每日120个‘车次’(一个车次指一辆车完成一个单程)。问:为满足上述条件,该线路每日至少需要安排多少辆公交车?并说明如何安排发车班次才能使运力覆盖最紧张的一天,且总车次不超过限制。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"第一步:计算7天中最大车流量\n观测数据中最大值为367辆(第6天)。\n\n第二步:计算该时段所需最小运力\n每辆车平均载客1.2人,因此367辆车对应乘客数约为:\n367 × 1.2 = 440.4 ≈ 441人\n要求公交运力至少满足15%,即:\n441 × 15% = 66.15 ≈ 67人\n\n第三步:计算每小时所需最少公交车运力\n每辆公交车每小时可运行2个单程,每个单程载客40人,因此一辆车每小时最大运力为:\n2 × 40 = 80人\n要满足67人的运力需求,至少需要:\n67 ÷ 80 = 0.8375 → 向上取整为1辆车(每小时)\n\n第四步:考虑全天工作安排\n每辆车每天最多工作8小时,每小时最多贡献80人运力,因此一辆车每天最多提供:\n8 × 80 = 640人运力\n但高峰时段(8:00–9:00)只需67人运力,因此从运力角度看,1辆车即可满足高峰需求。\n\n第五步:分析车次限制\n总车次上限为每日120个单程。\n若安排n辆车,每辆车每天最多运行8小时 × 2单程\/小时 = 16个单程,\n则总车次最多为16n。\n要求16n ≤ 120 → n ≤ 7.5 → 最多可用7辆车。\n\n第六步:验证最少车辆数是否可行\n虽然1辆车可满足高峰运力,但需确保其在8:00–9:00运行。\n假设安排1辆车专门在高峰时段运行,其余时间可调度。\n该辆车在高峰1小时内可运行2个单程,提供80人运力 > 67人,满足要求。\n总车次使用2个,远低于120限制。\n\n第七步:结论\n因此,每日至少需要安排1辆公交车即可满足运力要求和车次限制。\n安排方式:该辆车在8:00–9:00运行2个单程(如8:00发车,8:30返回;8:30再发车),其余时间可灵活调度或停运,确保总车次不超过120。\n\n最终答案:每日至少需要安排1辆公交车。","explanation":"本题综合考查数据的收集与整理(分析7天车流量)、有理数运算(乘法、百分数计算)、不等式思想(车次限制)、实际应用建模(运力与车辆调度)以及最优化思维(最少车辆数)。解题关键在于识别‘最紧张的一天’作为约束条件,将实际问题转化为数学不等式与整数规划问题。通过计算高峰时段所需最小运力,并结合车辆运行能力与车次上限,逐步推理得出最小车辆数。题目情境新颖,融合交通规划与数学建模,体现数学在现实决策中的应用,符合七年级学生已学的实数运算、一元一次不等式、数据统计等知识点,难度较高,需多步逻辑推理与综合分析。","options":[]}]