某学生在研究一个等腰三角形时发现，其底边长为6 cm，两腰长均为5 cm。若以底边为轴作轴对称变换，则对称后的三角形与原三角形重合。现过顶点作底边的垂线，垂足将底边分为两段，每段长度为x cm。根据勾股定理，该三角形的高为√(5² - x²) cm。若已知x = 3，则这个三角形的面积是：
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由题意知 a < b < 0 < c，且 |a| = |c|，说明 a 和 c 互为相反数，因此 a + c = 0，排除 A；又 |b| = 2|a|，而 b 为负数，所以 b = 2a（因为 a 为负，2a 更小）。由于 a < 0，则 b = 2a < a < 0，且 c = -a > 0。计算 b + c = 2a + (-a) = a < 0，因此 B 正确。a + b = a + 2a = 3a < 0，排除 C；c - b = (-a) - (2a) = -3a > 0（因为 a < 0），排除 D。
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💡 学习建议：您在一元一次方程的应用方面掌握良好，但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":1637,"content":"某城市计划在一条主干道两侧安装智能路灯系统。道路全长1200米，起点和终点都必须安装路灯。设计要求如下：\n\n1. 道路每侧每隔相同距离安装一盏路灯，且两侧路灯在垂直于道路的方向上对齐；\n2. 每侧路灯数量比间隔数多1；\n3. 为节省成本，要求每侧的路灯数量尽可能少，但任意两盏相邻路灯之间的距离不得超过60米；\n4. 安装完成后，需在平面直角坐标系中标记所有路灯的位置，以道路起点为原点(0, 0)，道路沿x轴正方向延伸，左侧路灯位于y = 3处，右侧路灯位于y = -3处。\n\n问：(1) 每侧应安装多少盏路灯？相邻两盏路灯之间的距离是多少米？\n(2) 写出左侧第5盏路灯的坐标；\n(3) 若每盏路灯的维护成本为每年80元，且预算限制为每年不超过5000元，问该方案是否满足预算要求？请说明理由。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(1) 设每侧安装n盏路灯，则有(n - 1)个间隔。道路全长1200米，因此相邻两盏路灯之间的距离为：1200 ÷ (n - 1) 米。\n根据设计要求，该距离不得超过60米，即：\n1200 ÷ (n - 1) ≤ 60\n解这个不等式：\n1200 ≤ 60(n - 1)\n1200 ≤ 60n - 60\n1260 ≤ 60n\nn ≥ 21\n因为n为整数，且要求路灯数量尽可能少，所以取n = 21。\n此时间隔数为20，相邻距离为：1200 ÷ 20 = 60（米），满足不超过60米的要求。\n答：每侧应安装21盏路灯，相邻两盏路灯之间的距离是60米。\n\n(2) 左侧路灯位于y = 3处，沿x轴从0开始每隔60米一盏。\n第1盏：x = 0\n第2盏：x = 60\n第3盏：x = 120\n第4盏：x = 180\n第5盏：x = 240\n因此，左侧第5盏路灯的坐标为(240, 3)。\n\n(3) 每侧21盏，两侧共：21 × 2 = 42盏路灯。\n每年维护成本为：42 × 80 = 3360（元）\n预算限制为5000元，3360 < 5000，因此该方案满足预算要求。","explanation":"本题综合考查了一元一次不等式、平面直角坐标系、有理数运算及实际应用建模能力。第(1)问通过建立不等式模型求解最小路灯数量，体现了优化思想；第(2)问考查坐标系中点的位置表示，需理解等距分布规律；第(3)问结合有理数乘法和比较大小，进行成本分析。题目情境新颖，融合工程设计与数学建模，要求学生具备较强的阅读理解、逻辑推理和综合运用能力，符合困难难度要求。","options":[]},{"id":1808,"content":"某学生测量了一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰各为5厘米。若以该三角形的底边为轴进行轴对称变换，得到的新三角形与原三角形组成的图形是什么？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"D","explanation":"原三角形是等腰三角形，底边为6厘米，两腰为5厘米。以底边为轴作轴对称变换后，会得到一个与原三角形完全对称的新三角形，两个三角形共用底边，顶点分别在底边两侧。这样形成的四边形有两组对边分别相等（每条腰5厘米，底边6厘米被对称复制），且由于对称性，对边平行，因此构成一个平行四边形。由于边长不等（5≠6），不是菱形；角度不是直角，也不是矩形或正方形。故正确答案为D。","options":[{"id":"A","content":"菱形"},{"id":"B","content":"矩形"},{"id":"C","content":"正方形"},{"id":"D","content":"平行四边形"}]},{"id":2496,"content":"某学生设计了一个圆形花坛，其外围是一个边长为8米的正方形地砖区域。花坛恰好内切于该正方形，即花坛的直径等于正方形的边长。若在该花坛中随机撒一粒种子，则种子落在花坛内的概率是多少？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"九年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"本题考查圆与正方形的几何关系及概率初步知识。正方形边长为8米，因此面积为 8² = 64 平方米。花坛为内切圆，直径也为8米，半径为4米，面积为 π×4² = 16π 平方米。种子随机落在正方形区域内，落在花坛内的概率即为花坛面积与正方形面积之比：16π \/ 64 = π\/4。因此正确答案为A。","options":[{"id":"A","content":"π\/4"},{"id":"B","content":"π\/2"},{"id":"C","content":"1\/4"},{"id":"D","content":"2\/π"}]},{"id":555,"content":"在一次班级大扫除中，某学生负责统计同学们带来的清洁工具数量。已知扫帚和拖把共带来12件，其中扫帚比拖把多4件。设拖把的数量为x件，则可列出一元一次方程为：","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"题目中已知扫帚和拖把共12件，且扫帚比拖把多4件。设拖把数量为x件，则扫帚数量为x + 4件。根据总数量关系，可列出方程：拖把数量 + 扫帚数量 = 12，即 x + (x + 4) = 12。选项A正确表达了这一数量关系。其他选项中，B表示扫帚比拖把少4件，与题意相反；C错误地将扫帚表示为4x；D的等式左边结果为负数，不符合实际意义。因此，正确答案是A。","options":[{"id":"A","content":"x + (x + 4) = 12"},{"id":"B","content":"x + (x - 4) = 12"},{"id":"C","content":"x + 4x = 12"},{"id":"D","content":"x - (x + 4) = 12"}]},{"id":1305,"content":"某学生在研究城市公园的步行路径规划时，收集了两条主要步道的长度数据。已知第一条步道比第二条步道长3.5米，若将第一条步道缩短2米，第二条步道延长1.5米，则两条步道长度相等。现计划在这两条步道之间修建一条新的连接通道，其长度为调整后两条步道长度之和的三分之一，且该连接通道的长度必须大于4米但不超过6米。问：原第一条步道的长度是否满足修建要求？请通过计算说明理由。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"设原第二条步道长度为x米，则原第一条步道长度为(x + 3.5)米。\n\n根据题意，第一条步道缩短2米后为(x + 3.5 - 2) = (x + 1.5)米；\n第二条步道延长1.5米后为(x + 1.5)米。\n此时两者相等，符合题意。\n\n调整后两条步道长度均为(x + 1.5)米，\n因此它们的和为：(x + 1.5) + (x + 1.5) = 2x + 3（米）。\n\n连接通道的长度为调整后长度之和的三分之一，即：\n(2x + 3) ÷ 3 = (2x + 3)\/3 米。\n\n根据修建要求，连接通道长度必须满足：\n4 < (2x + 3)\/3 ≤ 6\n\n解这个不等式组：\n第一步：两边同乘3，得：\n12 < 2x + 3 ≤ 18\n\n第二步：减去3：\n9 < 2x ≤ 15\n\n第三步：除以2：\n4.5 < x ≤ 7.5\n\n即原第二条步道长度x的取值范围是(4.5, 7.5]米。\n\n那么原第一条步道长度为x + 3.5，其取值范围为：\n4.5 + 3.5 < x + 3.5 ≤ 7.5 + 3.5\n即：8 < 第一条步道长度 ≤ 11（米）\n\n因此，原第一条步道的长度在8米到11米之间（不含8米，含11米）。\n\n由于题目问的是“原第一条步道的长度是否满足修建要求”，而修建要求通过连接通道的长度体现，我们已经推导出只要原第一条步道长度在(8, 11]米范围内，连接通道就满足4米到6米的要求。\n\n所以，只要原第一条步道长度大于8米且不超过11米，就满足修建要求。\n\n例如，若x = 5，则第一条步道为8.5米，调整后均为6.5米，连接通道为(6.5+6.5)\/3 ≈ 4.33米，符合要求；\n若x = 7.5，则第一条步道为11米，调整后均为9米，连接通道为(9+9)\/3 = 6米，也符合要求。\n\n综上，原第一条步道的长度只要落在(8, 11]米区间内，就满足修建要求。题目未给出具体数值，但通过分析可知存在满足条件的情况，且该长度范围是确定的。因此，可以判断：当原第一条步道长度大于8米且不超过11米时，满足修建要求。","explanation":"本题综合考查了一元一次方程的建立与求解、不等式组的解法以及实际问题的数学建模能力。首先通过设未知数表示两条步道原长，利用‘调整后长度相等’建立等量关系，虽未直接解出具体数值，但为后续分析奠定基础。接着引入连接通道长度的表达式，并结合‘大于4米但不超过6米’的条件建立不等式组，通过代数运算求解出第二条步道长度的范围，进而推出第一条步道长度的取值范围。整个过程涉及有理数运算、代数式表示、不等式性质及逻辑推理，体现了从实际问题抽象出数学模型并加以分析解决的能力，符合七年级数学课程中‘一元一次方程’与‘不等式与不等式组’的核心要求，同时融入数据整理与逻辑判断，难度较高。","options":[]},{"id":576,"content":"某学生在整理班级同学的身高数据时，将数据按从小到大的顺序排列，并制作了频数分布表。已知身高在150cm到155cm（含150cm，不含155cm）这一组的人数为8人，占总人数的20%。那么，该班级参加统计的学生总人数是多少？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"题目中给出身高在150cm到155cm这一组的人数为8人，占总人数的20%。设总人数为x，则可列出一元一次方程：8 = 20% × x，即8 = 0.2x。解这个方程，两边同时除以0.2，得到x = 8 ÷ 0.2 = 40。因此，该班级参加统计的学生总人数是40人。此题考查了数据的收集与整理中频数与百分比的关系，以及一元一次方程的简单应用，符合七年级数学课程内容。","options":[{"id":"A","content":"32人"},{"id":"B","content":"40人"},{"id":"C","content":"45人"},{"id":"D","content":"50人"}]},{"id":1911,"content":"某学生在整理班级同学最喜欢的运动项目数据时，制作了如下频数分布表。已知喜欢篮球的人数占总调查人数的30%，且总人数为40人，那么喜欢篮球的学生有多少人？","type":"选择题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"题目考查的是数据的收集、整理与描述中的百分比计算。已知总人数为40人，喜欢篮球的人数占30%，即求40的30%是多少。计算过程为：40 × 30% = 40 × 0.3 = 12（人）。因此，喜欢篮球的学生有12人，正确答案为B。","options":[{"id":"A","content":"10人"},{"id":"B","content":"12人"},{"id":"C","content":"15人"},{"id":"D","content":"18人"}]},{"id":503,"content":"某学生调查了班级同学最喜欢的课外活动，并将数据整理成如下表格。根据表格，喜欢阅读的人数占总调查人数的百分比是多少？\n\n| 活动类型 | 人数 |\n|----------|------|\n| 阅读 | 12 |\n| 运动 | 18 |\n| 音乐 | 10 |\n| 绘画 | 10 |","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"首先计算总调查人数：12 + 18 + 10 + 10 = 50（人）。喜欢阅读的人数为12人，因此所占百分比为 (12 ÷ 50) × 100% = 24%。故正确答案为B。","options":[{"id":"A","content":"20%"},{"id":"B","content":"24%"},{"id":"C","content":"30%"},{"id":"D","content":"36%"}]},{"id":1355,"content":"某校组织七年级学生参加环保主题研学活动，活动分为A、B两组，每组人数不同。已知A组人数比B组多8人，若从A组调2人到B组，则A组人数恰好是B组人数的2倍。活动结束后，学校对两组学生收集的可回收垃圾重量进行了统计，发现A组平均每人收集垃圾重量比B组多0.5千克，且两组共收集了120千克垃圾。若设B组原有人数为x人，A组原有人数为y人，A组平均每人收集垃圾重量为z千克。请根据以上信息：(1) 列出关于x、y的二元一次方程组，并求出A、B两组原有的人数；(2) 用含z的代数式表示B组平均每人收集的垃圾重量，并建立关于z的一元一次方程，求出z的值；(3) 若学校规定每人至少收集3千克垃圾才能获得‘环保小卫士’称号，请判断A、B两组中哪些组的所有学生都能获得该称号，并说明理由。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(1) 根据题意，A组人数比B组多8人，可得方程：y = x + 8。\n若从A组调2人到B组，则A组变为(y - 2)人，B组变为(x + 2)人，此时A组人数是B组的2倍，得方程：y - 2 = 2(x + 2)。\n将第一个方程代入第二个方程：\n(x + 8) - 2 = 2(x + 2)\nx + 6 = 2x + 4\n6 - 4 = 2x - x\nx = 2\n代入y = x + 8，得y = 10。\n所以，B组原有2人，A组原有10人。\n\n(2) A组平均每人收集z千克，则A组共收集10z千克。\nB组平均每人收集垃圾重量为：(120 - 10z) \/ 2 = 60 - 5z（千克）。\n根据题意，A组平均比B组多0.5千克，得方程：\nz = (60 - 5z) + 0.5\nz = 60.5 - 5z\nz + 5z = 60.5\n6z = 60.5\nz = 60.5 ÷ 6 = 121\/12 ≈ 10.083（千克）\n所以，z = 121\/12 千克。\n\n(3) A组平均每人收集121\/12 ≈ 10.083千克 > 3千克，满足条件，因此A组所有学生都能获得称号。\nB组平均每人收集60 - 5z = 60 - 5×(121\/12) = 60 - 605\/12 = (720 - 605)\/12 = 115\/12 ≈ 9.583千克 > 3千克，也满足条件。\n因此，A、B两组的所有学生都能获得‘环保小卫士’称号。","explanation":"本题综合考查二元一次方程组、一元一次方程、整式运算及实际问题的建模能力。第(1)问通过人数变化建立方程组，考查学生对等量关系的理解与解方程组的能力；第(2)问引入平均数概念，结合总重量建立代数表达式并求解，涉及有理数运算与方程应用；第(3)问结合不等式思想（隐含比较），判断是否满足最低标准，体现数学在生活中的应用。题目情境新颖，融合环保主题，考查知识点全面，逻辑层次清晰，难度递进，符合困难等级要求。","options":[]},{"id":1027,"content":"某班级组织了一次环保知识竞赛，共收集了50份有效问卷。统计结果显示，有32名学生表示经常进行垃圾分类，有25名学生表示每天步行或骑自行车上学。已知每位学生至少符合其中一项环保行为，那么同时做到垃圾分类和绿色出行的学生至少有___人。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"7","explanation":"根据容斥原理，设同时做到两项的学生人数为x。总人数 = 垃圾分类人数 + 绿色出行人数 - 同时做到两项的人数。即：50 = 32 + 25 - x，解得x = 7。因此，同时做到两项的学生至少有7人。","options":[]}]