某校七年级组织学生参加数学实践活动,需将学生分成若干小组进行实地测量。已知若每组安排5人,则最后剩下3人无法编组;若每组安排7人,则最后一组只有4人。现决定重新分组,要求每组人数相同且不少于6人,不多于10人,并且所有学生恰好分完。已知学生总人数在80到120之间,求该校七年级参加活动的学生总人数,并列出所有可能的分组方案(每组人数和对应的组数)。
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本题综合考查二元一次不等式组、线性目标函数的最大值问题,属于不等式与不等式组在实际问题中的应用,同时涉及数据的收集与整理(车流量、通行效率)以及优化思想。解题关键在于将实际问题转化为数学不等式组,并识别目标函数。通过分析可行域的顶点(线性规划基本原理),计算目标函数在各顶点的取值,找出最大值。本题难度较高,要求学生具备较强的建模能力、逻辑推理能力和不等式组的综合应用能力,符合七年级‘不等式与不等式组’和‘数据的收集、整理与描述’的知识范畴,且情境新颖,避免常见题型重复。
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💡 学习建议:您在一元一次方程的应用方面掌握良好,但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":660,"content":"在一次班级环保活动中,某学生收集了若干节废旧电池。若每3节电池可兑换1个环保积分,该学生共获得了8个环保积分,则他收集的电池总数为____节。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","difficulty":"简单","answer":"24","explanation":"根据题意,每3节电池兑换1个环保积分,获得8个积分说明兑换了8组,每组3节电池。因此总电池数为 8 × 3 = 24 节。本题考查一元一次方程的实际应用,学生可通过简单的乘法运算得出结果,符合七年级‘一元一次方程’知识点的简单难度要求。","options":[]},{"id":1045,"content":"在一次班级图书角统计中,某学生整理了上周同学们借阅的图书数量:语文类12本,数学类8本,英语类10本,科学类6本。如果将这些数据用扇形统计图表示,那么表示数学类图书的扇形圆心角的度数是___度。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"80","explanation":"首先计算图书总数:12 + 8 + 10 + 6 = 36(本)。数学类图书占总数的比例为 8 ÷ 36 = 2\/9。扇形统计图中整个圆为360度,因此数学类对应的圆心角为 360 × (2\/9) = 80(度)。","options":[]},{"id":2246,"content":"某学生在一次数学实践活动中,记录了一周内每天的温度变化情况。以某基准温度0℃为标准,高于0℃记为正,低于0℃记为负。已知这一周七天的温度变化值分别为:+3,-2,+5,-4,+1,-6,+2(单位:℃)。该学生发现,若将其中连续三天的温度变化值相加,可以得到一个最大的正数和最小的负数。请找出这个最大的正数和最小的负数,并说明是由哪连续三天得到的。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"最大的正数是6,由第1天、第2天和第3天的温度变化值(+3,-2,+5)相加得到;最小的负数是-9,由第4天、第5天和第6天的温度变化值(-4,+1,-6)相加得到。","explanation":"本题考查正负数的加减运算及在实际情境中的应用,要求学生在多个连续数据中寻找极值组合,涉及枚举、计算与比较,符合七年级学生对正负数运算的综合运用能力要求。题目设计结合生活情境,避免机械重复,强调逻辑推理与系统分析,难度较高,适合用于提升学生的数学思维能力。","options":[]},{"id":549,"content":"某班级进行了一次数学测验,成绩分布如下表所示。已知成绩在80分及以上的学生占总人数的40%,成绩在60分到79分之间的学生比成绩在60分以下的学生多10人,且全班共有50名学生。那么,成绩在60分以下的学生有多少人?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"设成绩在60分以下的学生有x人,则成绩在60分到79分之间的学生有(x + 10)人。根据题意,成绩在80分及以上的学生占总人数的40%,即50 × 40% = 20人。全班总人数为50人,因此可以列出方程:x + (x + 10) + 20 = 50。化简得:2x + 30 = 50,解得2x = 20,x = 10。所以,成绩在60分以下的学生有10人。","options":[{"id":"A","content":"10人"},{"id":"B","content":"15人"},{"id":"C","content":"20人"},{"id":"D","content":"25人"}]},{"id":1519,"content":"某校七年级开展‘校园绿化优化’项目,计划在教学楼前的一块矩形空地上铺设草坪并修建步道。已知该矩形空地的长为 (3a + 2b) 米,宽为 (2a - b) 米。现计划在空地中央保留一个长为 (a + b) 米、宽为 (a - b) 米的矩形区域种植花卉,其余部分铺设草坪。步道将沿着草坪的外边缘修建,宽度为 1 米,且步道完全包围草坪区域(即步道在草坪外侧一圈)。若 a = 5,b = 2,求:(1) 铺设草坪的实际面积(不含步道);(2) 修建步道所需的总面积;(3) 若每平方米草坪成本为 15 元,每平方米步道铺设成本为 25 元,求总预算(结果保留整数)。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"(1) 先计算整个矩形空地面积:长 = 3a + 2b = 3×5 + 2×2 = 15 + 4 = 19 米,宽 = 2a - b = 2×5 - 2 = 10 - 2 = 8 米,总面积 = 19 × 8 = 152 平方米。\n\n中央花卉区域面积:长 = a + b = 5 + 2 = 7 米,宽 = a - b = 5 - 2 = 3 米,面积 = 7 × 3 = 21 平方米。\n\n因此,草坪区域(不含步道)面积 = 整个空地面积 - 花卉区域面积 = 152 - 21 = 131 平方米。\n\n(2) 步道是围绕草坪外边缘修建,宽度为 1 米,因此包含步道的整个外轮廓是一个更大的矩形。由于步道在草坪外侧一圈,所以外轮廓的长 = 草坪区长 + 2×1 = 19 + 2 = 21 米?不对,注意:草坪区就是整个空地去掉中央花坛后的区域,但步道是建在草坪的外边缘,即整个空地的外边缘再向外扩展 1 米?不,题意是:步道沿着草坪的外边缘修建,且完全包围草坪区域。而草坪区域本身就是整个空地除去中央花坛的部分,所以‘草坪的外边缘’就是整个矩形空地的边界。因此,步道是在整个矩形空地的外侧再向外扩展 1 米修建一圈。\n\n所以,包含步道的总区域是一个更大的矩形:长 = 原长 + 2×1 = 19 + 2 = 21 米,宽 = 原宽 + 2×1 = 8 + 2 = 10 米,总面积 = 21 × 10 = 210 平方米。\n\n因此,步道面积 = 包含步道的总面积 - 原空地面积 = 210 - 152 = 58 平方米。\n\n(3) 草坪成本:131 × 15 = 1965 元;步道成本:58 × 25 = 1450 元;总预算 = 1965 + 1450 = 3415 元。","explanation":"本题综合考查整式的加减(用于表达矩形长宽)、实数运算(代入求值)、几何图形初步(矩形面积计算)、以及实际应用中的面积分割与成本计算。难点在于理解‘步道沿着草坪外边缘修建’的含义——草坪区域是空地去掉中央花坛后的部分,其外边缘即为整个空地的边界,因此步道是在整个空地外围再向外扩展1米形成一圈。解题关键在于正确识别各区域之间的包含关系,避免将步道误认为建在花坛周围。通过分步计算总面积、花坛面积、草坪面积和步道包围后的总面积,最终得出精确结果。本题融合了代数运算与几何直观,要求学生具备较强的空间想象力和逻辑推理能力。","options":[]},{"id":655,"content":"在一次环保主题活动中,某学生记录了连续5天每天节约用水的升数,分别为:3.5升、4.2升、3.8升、4.0升、3.6升。这5天平均每天节约用水______升。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"3.82","explanation":"要计算平均每天节约用水的升数,需将5天的用水量相加后除以天数。计算过程为:(3.5 + 4.2 + 3.8 + 4.0 + 3.6) ÷ 5 = 19.1 ÷ 5 = 3.82(升)。本题考查的是数据的收集、整理与描述中的平均数计算,属于七年级数学中数据处理的基础知识,难度为简单。","options":[]},{"id":2435,"content":"在一次校园绿化项目中,工人师傅用四块相同的等腰直角三角形地砖拼接成一个轴对称图形,拼接方式如图所示(每块地砖的直角边长为√2米)。若拼接后的大图形是一个正方形,且内部形成一个较小的空白正方形区域,则该空白正方形的面积是多少?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","difficulty":"中等","answer":"B","explanation":"每块等腰直角三角形地砖的直角边长为√2米,因此每条直角边对应的斜边(即等腰直角三角形的斜边)长度为:√[(√2)² + (√2)²] = √(2 + 2) = √4 = 2(米)。四块这样的三角形地砖以斜边朝外、直角顶点朝内拼接,可形成一个大正方形,其边长等于原三角形斜边的长度,即2米,故大正方形面积为 2 × 2 = 4 平方米。每块三角形面积为 (1\/2) × √2 × √2 = (1\/2) × 2 = 1 平方米,四块总面积为 4 × 1 = 4 平方米。由于大正方形总面积也为4平方米,说明拼接紧密,但中间空白区域实际由四个直角顶点围成。观察可知,四个直角顶点位于大正方形的中心区域,彼此间距构成一个小正方形,其边长等于两个直角边在水平和垂直方向上的投影差。通过坐标法或几何分析可得,空白正方形边长为√2米,因此面积为 (√2)² = 2 平方米。故正确答案为 B。","options":[{"id":"A","content":"1 平方米"},{"id":"B","content":"2 平方米"},{"id":"C","content":"√2 平方米"},{"id":"D","content":"4 平方米"}]},{"id":908,"content":"某班级组织学生参加植树活动,原计划每天植树50棵,实际每天比原计划多种树10棵,结果提前2天完成了植树任务。那么原计划需要___天完成植树任务。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"12","explanation":"设原计划需要 x 天完成任务,则总植树量为 50x 棵。实际每天植树 50 + 10 = 60 棵,用了 (x - 2) 天完成,因此有方程:60(x - 2) = 50x。解这个一元一次方程:60x - 120 = 50x → 10x = 120 → x = 12。所以原计划需要12天完成任务。","options":[]},{"id":2479,"content":"如图,一个圆锥的底面半径为3 cm,母线长为5 cm,则该圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角是多少度?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"九年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"圆锥的侧面展开图是一个扇形,其弧长等于圆锥底面的周长,半径等于圆锥的母线长。\n\n1. 计算底面周长:C = 2πr = 2π × 3 = 6π(cm)。\n2. 扇形半径为母线长5 cm,设圆心角为θ度,则扇形弧长公式为:(θ\/360) × 2π × 5 = (θ\/360) × 10π。\n3. 令扇形弧长等于底面周长:(θ\/360) × 10π = 6π。\n4. 两边同时除以π,得:(θ\/360) × 10 = 6。\n5. 解得:θ = (6 × 360) \/ 10 = 216°。\n\n因此,该圆锥侧面展开图的圆心角为216°,正确答案为A。","options":[{"id":"A","content":"216°"},{"id":"B","content":"180°"},{"id":"C","content":"150°"},{"id":"D","content":"120°"}]},{"id":653,"content":"在一次班级环保活动中,某学生收集了若干个塑料瓶和玻璃瓶,其中塑料瓶的数量比玻璃瓶多8个。若两种瓶子一共有36个,那么玻璃瓶有___个。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"14","explanation":"设玻璃瓶的数量为x个,则塑料瓶的数量为x + 8个。根据题意,两种瓶子总数为36个,可列方程:x + (x + 8) = 36。化简得2x + 8 = 36,解得2x = 28,x = 14。因此,玻璃瓶有14个。本题考查一元一次方程的实际应用,属于七年级数学课程内容。","options":[]}]