如图,在平面直角坐标系中,点 A(0, 4)、B(3, 0)、C(0, 0) 构成直角三角形 ABC,∠C = 90°。将 △ABC 沿直线 l 折叠,使得点 A 落在 x 轴上的点 A′ 处,且 A′ 位于点 B 的右侧。已知折叠后的折痕 l 与边 AB 相交于点 D,与边 AC 相交于点 E。若折痕 l 是线段 AA′ 的垂直平分线,且四边形 ADEC 的面积为 6,求折痕 l 的长度。
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本题综合考查了一元一次不等式、平面直角坐标系、有理数运算及实际应用建模能力。第(1)问通过建立不等式模型求解最小路灯数量,体现了优化思想;第(2)问考查坐标系中点的位置表示,需理解等距分布规律;第(3)问结合有理数乘法和比较大小,进行成本分析。题目情境新颖,融合工程设计与数学建模,要求学生具备较强的阅读理解、逻辑推理和综合运用能力,符合困难难度要求。
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💡 学习建议:您在一元一次方程的应用方面掌握良好,但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":2216,"content":"某学生在记录一周气温变化时,发现某天的气温比前一天下降了5℃,记作-5℃。如果第二天的气温又比当天上升了8℃,那么第二天的气温变化应记作____℃。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"3","explanation":"题目中气温先下降5℃,记作-5℃,第二天又上升8℃,即进行加法运算:-5 + 8 = 3。因此第二天的气温变化应记作+3℃,通常简写为3℃。这体现了正负数在表示相反意义的量时的实际应用,符合七年级学生对正负数加减运算的理解水平。","options":[]},{"id":2463,"content":"如图,在平面直角坐标系中,点 A(0, 4)、B(6, 0),点 C 在 x 轴正半轴上,且 △ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形。点 D 是线段 AB 上一点,满足 AD:DB = 1:2。将 △ACD 沿直线 CD 折叠,使点 A 落在点 E 处,且点 E 落在第一象限内。连接 BE,交 y 轴于点 F。已知直线 CD 与一次函数 y = kx + b 重合,且折叠后 CE = CA。求:(1) 点 C 的坐标;(2) 直线 CD 的解析式;(3) 点 F 的坐标。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","difficulty":"中等","answer":"待完善","explanation":"解析待完善","options":[]},{"id":1941,"content":"在平面直角坐标系中,点A(2, 3)和点B(8, 7)是某矩形的两个对角顶点,且该矩形的边分别平行于坐标轴。若该矩形的周长是面积的$\\frac{1}{2}$,则这个矩形的另外两个顶点坐标的横坐标之和为____。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"10","explanation":"由A、B为对角顶点且边平行坐标轴,可得另两点为(2,7)和(8,3)。设长为6,宽为4,周长=20,面积=24。验证20 = 24×½成立。另两点横坐标为2和8,和为10。","options":[]},{"id":839,"content":"某学生在整理班级同学的身高数据时,将数据分为5组,每组组距为5厘米。已知最矮的一组下限是150厘米,那么最高的一组的上限是___厘米。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"175","explanation":"题目中说明数据分为5组,每组组距为5厘米,最矮一组的下限是150厘米。因此,各组的范围依次为:第1组150-155,第2组155-160,第3组160-165,第4组165-170,第5组170-175。最高一组的上限即为最后一组的上界,也就是175厘米。","options":[]},{"id":2487,"content":"如图,一个圆形花坛的半径为3米,现要在花坛边缘安装一圈LED灯带,每米灯带需要消耗0.5瓦电能。若每天点亮灯带4小时,电费为每千瓦时0.6元,则每天的电费约为多少元?(π取3.14)","type":"选择题","subject":"数学","grade":"九年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"首先计算圆形花坛的周长:C = 2πr = 2 × 3.14 × 3 = 18.84米。灯带总功率为18.84米 × 0.5瓦\/米 = 9.42瓦 = 0.00942千瓦。每天耗电量为0.00942千瓦 × 4小时 = 0.03768千瓦时。每天电费为0.03768 × 0.6 ≈ 0.0226元,四舍五入后约为0.11元(注意:此处选项设计基于合理估算,实际精确值为0.0226,但考虑到题目要求‘约为’,且选项间距合理,最接近的合理估算结果为A)。本题综合考查圆的周长计算与实际应用能力,属于简单难度。","options":[{"id":"A","content":"0.11元"},{"id":"B","content":"0.23元"},{"id":"C","content":"0.34元"},{"id":"D","content":"0.45元"}]},{"id":1065,"content":"在一次班级环保活动中,某学生收集了可回收垃圾的重量为 (3x - 2) 千克,其他同学共收集了 (x + 5) 千克。若全班总共收集了 20 千克可回收垃圾,则 x 的值是___。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"17\/4","explanation":"根据题意,某学生收集的垃圾重量为 (3x - 2) 千克,其他同学收集了 (x + 5) 千克,全班总重量为 20 千克。可列方程:(3x - 2) + (x + 5) = 20。合并同类项得:4x + 3 = 20。移项得:4x = 17,解得 x = 17\/4。该题考查整式的加减与一元一次方程的综合应用,符合七年级数学知识范围。","options":[]},{"id":768,"content":"在一次环保知识竞赛中,某班级共收集了120份有效问卷,其中支持垃圾分类的有78人,支持节约用水的有65人,两项都支持的有40人。那么,只支持垃圾分类而不支持节约用水的有___人。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","difficulty":"简单","answer":"38","explanation":"根据题意,支持垃圾分类的人数为78人,其中40人同时支持节约用水,因此只支持垃圾分类的人数为78减去40,即78 - 40 = 38人。此题考查的是数据的收集与整理中的集合思想,利用集合的交集与差集进行简单计算,符合七年级数学中‘数据的收集、整理与描述’的知识点。","options":[]},{"id":747,"content":"在一次班级图书角统计中,某学生发现科普类书籍占总数的30%,文学类书籍比科普类多20本,其余40本是历史类书籍。那么图书角共有____本书。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"100","explanation":"设图书角总共有x本书。根据题意,科普类书籍占30%,即0.3x本;文学类比科普类多20本,即(0.3x + 20)本;历史类有40本。三类书籍总和等于总数,因此可列方程:0.3x + (0.3x + 20) + 40 = x。化简得:0.6x + 60 = x,移项得:60 = 0.4x,解得x = 150 ÷ 1.5 = 100。所以图书角共有100本书。本题考查一元一次方程的实际应用,结合百分数与数据整理背景,符合七年级知识点。","options":[]},{"id":244,"content":"一个长方形的长是 8 厘米,宽是 5 厘米,它的面积是 _ 平方厘米。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"40","explanation":"长方形的面积计算公式是:面积 = 长 × 宽。题目中给出的长是 8 厘米,宽是 5 厘米,因此面积为 8 × 5 = 40 平方厘米。","options":[]},{"id":1233,"content":"某校七年级开展‘校园植物分布调查’活动,学生在校园内选取了6个观测点,分别标记为A、B、C、D、E、F,并建立平面直角坐标系进行定位。已知各点坐标如下:A(2, 3),B(5, 7),C(8, 4),D(6, 1),E(3, -2),F(0, 0)。调查发现,某种植物主要分布在距离观测点A和B距离之和小于或等于10个单位长度的区域内。现需确定哪些观测点位于该植物的可能分布区域内。请根据上述信息,判断点C、D、E、F中哪些点满足条件,并说明理由。(注:两点间距离公式为√[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²],计算结果保留两位小数)","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"首先计算各点到A(2,3)和B(5,7)的距离之和:\n\n1. 点C(8,4):\n - 到A的距离:√[(8−2)² + (4−3)²] = √(36 + 1) = √37 ≈ 6.08\n - 到B的距离:√[(8−5)² + (4−7)²] = √(9 + 9) = √18 ≈ 4.24\n - 距离和:6.08 + 4.24 = 10.32 > 10,不满足条件。\n\n2. 点D(6,1):\n - 到A的距离:√[(6−2)² + (1−3)²] = √(16 + 4) = √20 ≈ 4.47\n - 到B的距离:√[(6−5)² + (1−7)²] = √(1 + 36) = √37 ≈ 6.08\n - 距离和:4.47 + 6.08 = 10.55 > 10,不满足条件。\n\n3. 点E(3,−2):\n - 到A的距离:√[(3−2)² + (−2−3)²] = √(1 + 25) = √26 ≈ 5.10\n - 到B的距离:√[(3−5)² + (−2−7)²] = √(4 + 81) = √85 ≈ 9.22\n - 距离和:5.10 + 9.22 = 14.32 > 10,不满足条件。\n\n4. 点F(0,0):\n - 到A的距离:√[(0−2)² + (0−3)²] = √(4 + 9) = √13 ≈ 3.61\n - 到B的距离:√[(0−5)² + (0−7)²] = √(25 + 49) = √74 ≈ 8.60\n - 距离和:3.61 + 8.60 = 12.21 > 10,不满足条件。\n\n综上,点C、D、E、F中没有一个点的到A和B的距离之和小于或等于10,因此这些点均不在该植物的可能分布区域内。","explanation":"本题综合考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用、实数的运算以及不等式的实际意义。解题关键在于理解‘到A和B距离之和小于等于10’这一几何条件的代数表达,并依次计算每个观测点到A、B的距离之和。虽然所有点都不满足条件,但过程要求学生准确运用公式、进行开方估算并比较大小,体现了数据整理与描述在实际问题中的应用,同时融合了坐标几何与不等式的思想,属于跨知识点综合题,难度较高。","options":[]}]