某学生用一根长为20 cm的铁丝围成一个扇形,扇形的半径为r cm,圆心角为θ(0 < θ ≤ 2π)。若扇形的面积S(cm²)与半径r(cm)满足关系式 S = 10r - r²,则该扇形的最大面积为多少?
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首先确定点B的位置:点A为-3,点B在A右侧且距离为7,因此点B表示的数为-3 + 7 = 4。点C在A和B之间,且AC:CB = 2:5,说明将AB分成2+5=7份,AC占2份。AB总长为7个单位,每份为1个单位,因此AC = 2。从点A(-3)向右移动2个单位,得到点C为-3 + 2 = -1。
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💡 学习建议:您在一元一次方程的应用方面掌握良好,但仍有提升空间。建议重点复习方程求解步骤和实际应用问题。
[{"id":17,"content":"工业革命首先发生在哪个国家?","type":"选择题","subject":"历史","grade":"初二","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"工业革命首先发生在18世纪的英国。","options":[{"id":"A","content":"英国"},{"id":"B","content":"法国"},{"id":"C","content":"德国"},{"id":"D","content":"美国"}]},{"id":1808,"content":"某学生测量了一个等腰三角形的底边长为6厘米,两腰各为5厘米。若以该三角形的底边为轴进行轴对称变换,得到的新三角形与原三角形组成的图形是什么?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"D","explanation":"原三角形是等腰三角形,底边为6厘米,两腰为5厘米。以底边为轴作轴对称变换后,会得到一个与原三角形完全对称的新三角形,两个三角形共用底边,顶点分别在底边两侧。这样形成的四边形有两组对边分别相等(每条腰5厘米,底边6厘米被对称复制),且由于对称性,对边平行,因此构成一个平行四边形。由于边长不等(5≠6),不是菱形;角度不是直角,也不是矩形或正方形。故正确答案为D。","options":[{"id":"A","content":"菱形"},{"id":"B","content":"矩形"},{"id":"C","content":"正方形"},{"id":"D","content":"平行四边形"}]},{"id":901,"content":"在一次班级图书整理活动中,某学生统计了同学们捐赠的图书数量,并将数据整理成如下表格:\n\n| 图书类别 | 数量(本) |\n|----------|------------|\n| 科普类 | 15 |\n| 文学类 | 23 |\n| 历史类 | ___ |\n| 艺术类 | 12 |\n\n已知这四类图书的平均数量为18本,则历史类图书的数量为____本。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"22","explanation":"根据题意,四类图书的平均数量为18本,因此总数量为 4 × 18 = 72 本。已知科普类、文学类和艺术类图书数量分别为15本、23本和12本,三者之和为 15 + 23 + 12 = 50 本。因此历史类图书数量为 72 - 50 = 22 本。本题考查数据的收集、整理与描述中的平均数概念,属于简单难度。","options":[]},{"id":1331,"content":"某校七年级组织学生参加数学建模活动,研究校园内一条步行道的照明优化问题。已知步行道在平面直角坐标系中由线段AB表示,其中点A坐标为(-3, 2),点B坐标为(5, -4)。学校计划在AB之间等距离安装若干盏路灯,要求每盏路灯之间的直线距离相等,且第一盏灯安装在A点,最后一盏灯安装在B点。若每两盏相邻路灯之间的距离不超过2.5米,且路灯总数最少,求需要安装多少盏路灯?并求出每两盏相邻路灯之间的实际距离(精确到0.01米)。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"解题步骤如下:\n\n第一步:计算线段AB的长度。\n点A(-3, 2),点B(5, -4),\n根据两点间距离公式:\nAB = √[(5 - (-3))² + (-4 - 2)²] = √[(8)² + (-6)²] = √[64 + 36] = √100 = 10(米)\n\n第二步:设共需安装n盏路灯,则相邻路灯之间有(n - 1)段。\n每段距离为:d = AB \/ (n - 1) = 10 \/ (n - 1)\n\n根据题意,每段距离不超过2.5米,即:\n10 \/ (n - 1) ≤ 2.5\n\n解这个不等式:\n10 ≤ 2.5(n - 1)\n10 ≤ 2.5n - 2.5\n10 + 2.5 ≤ 2.5n\n12.5 ≤ 2.5n\nn ≥ 12.5 \/ 2.5 = 5\n\n因为n为整数,所以n ≥ 6\n\n要求路灯总数最少,因此取n = 6\n\n第三步:验证n = 6是否满足条件\n相邻段数:6 - 1 = 5段\n每段距离:10 ÷ 5 = 2.00(米)\n2.00 ≤ 2.5,满足条件\n\n若n = 5,则段数为4,每段距离为10 ÷ 4 = 2.5(米),虽然等于2.5,但题目要求“不超过2.5米”,2.5米是允许的。但注意:题目还要求“路灯总数最少”,而n = 5比n = 6更少,应优先考虑。\n\n重新审视不等式:10 \/ (n - 1) ≤ 2.5\n当n = 5时,10 \/ 4 = 2.5,满足“不超过2.5米”\n因此n = 5是可行的,且比n = 6更少\n\n继续检查n = 4:10 \/ 3 ≈ 3.33 > 2.5,不满足\n所以最小满足条件的n是5\n\n结论:需要安装5盏路灯,每两盏相邻路灯之间的距离为2.50米\n\n答案:需要安装5盏路灯,相邻路灯之间的距离为2.50米。","explanation":"本题综合考查了平面直角坐标系中两点间距离公式、不等式求解以及实际应用中的最优化思想。首先利用坐标计算出线段AB的实际长度,这是解决后续问题的关键。接着通过设定路灯数量n,建立相邻距离的表达式,并结合“不超过2.5米”的条件列出不等式。解题过程中需注意“总数最少”意味着要在满足约束条件下取最小的n值,因此要从较小的n开始尝试。特别要注意边界值(如等于2.5米)是否被允许,题目中‘不超过’包含等于,因此n=5是合法解。本题难点在于将几何距离与不等式约束结合,并进行逻辑推理找出最优解,体现了数学建模的基本思想。","options":[]},{"id":1,"content":"若x=3是方程2x + a = 7的解,则a的值为?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"将x=3代入方程2x + a = 7,得2*3 + a = 7,解得a = 1。","options":[{"id":"A","content":"1"},{"id":"B","content":"-1"},{"id":"C","content":"2"},{"id":"D","content":"3"}]},{"id":874,"content":"某学生在整理班级同学最喜欢的运动项目调查数据时,将收集到的原始数据按类别列出后,需要计算各类别人数的总和。已知喜欢篮球的有12人,喜欢足球的有8人,喜欢羽毛球的有5人,喜欢乒乓球的有7人,那么参与调查的总人数是____人。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"32","explanation":"本题考查数据的收集与整理。题目中给出了四类运动项目的人数:篮球12人、足球8人、羽毛球5人、乒乓球7人。要计算总人数,只需将这些数据相加:12 + 8 + 5 + 7 = 32。因此,参与调查的总人数是32人。此题帮助学生理解数据汇总的基本方法,符合七年级‘数据的收集、整理与描述’知识点要求。","options":[]},{"id":514,"content":"某学生在整理班级同学的课外阅读时间数据时,制作了如下频数分布表。已知阅读时间在30分钟以下(不含30分钟)的人数为8人,占总人数的20%;阅读时间在30~60分钟(含30分钟,不含60分钟)的人数是30分钟以下人数的2倍;其余学生阅读时间在60分钟及以上。若该学生想用扇形统计图表示这组数据,那么表示‘60分钟及以上’阅读时间所对应的扇形圆心角度数是多少?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"A","explanation":"首先,根据题意,阅读时间在30分钟以下的人数为8人,占总人数的20%,因此总人数为 8 ÷ 20% = 8 ÷ 0.2 = 40 人。接着,阅读时间在30~60分钟的人数是30分钟以下的2倍,即 8 × 2 = 16 人。那么,阅读时间在60分钟及以上的人数为总人数减去前两部分:40 - 8 - 16 = 16 人。这部分人数占总人数的比例为 16 ÷ 40 = 0.4,即40%。在扇形统计图中,圆心角 = 360度 × 比例,因此对应的圆心角为 360 × 0.4 = 144度。故正确答案为A。","options":[{"id":"A","content":"144度"},{"id":"B","content":"120度"},{"id":"C","content":"108度"},{"id":"D","content":"96度"}]},{"id":680,"content":"在一次班级图书角统计中,某学生发现科普类书籍比文学类书籍多8本,两类书籍共有32本。设文学类书籍有x本,则根据题意可列出一元一次方程:_x + (x + 8) = 32_,解得x = _12_,因此科普类书籍有_20_本。","type":"填空题","subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"x + (x + 8) = 32;12;20","explanation":"根据题意,文学类书籍为x本,科普类比文学类多8本,即为(x + 8)本。两类书总数为32本,因此可列方程:x + (x + 8) = 32。解这个方程:2x + 8 = 32 → 2x = 24 → x = 12。所以文学类有12本,科普类有12 + 8 = 20本。本题考查一元一次方程的建立与求解,属于七年级上册重点内容。","options":[]},{"id":1389,"content":"某学生在研究平面直角坐标系中的图形运动时,发现一个三角形ABC的顶点坐标分别为A(2, 3)、B(5, 1)、C(4, 6)。该学生将这个三角形先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到新的三角形A'B'C'。接着,他又将三角形A'B'C'绕原点逆时针旋转90°,得到三角形A''B''C''。已知旋转后的点A''落在直线y = -x + b上,求b的值,并判断点B''是否也在该直线上。若不在,求点B''到该直线的距离(结果保留根号)。","type":"解答题","subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","difficulty":"困难","answer":"第一步:求平移后的坐标\n原三角形ABC顶点:A(2,3), B(5,1), C(4,6)\n向右平移3个单位,横坐标加3;向下平移2个单位,纵坐标减2。\nA'(2+3, 3-2) = A'(5,1)\nB'(5+3, 1-2) = B'(8,-1)\nC'(4+3, 6-2) = C'(7,4)\n\n第二步:将A'B'C'绕原点逆时针旋转90°\n旋转90°的变换公式为:(x, y) → (-y, x)\nA''( -1, 5 )\nB''( 1, 8 )\nC''( -4, 7 )\n\n第三步:已知A''(-1,5)在直线y = -x + b上,代入求b\n5 = -(-1) + b → 5 = 1 + b → b = 4\n所以直线方程为:y = -x + 4\n\n第四步:判断B''(1,8)是否在该直线上\n代入x=1:y = -1 + 4 = 3 ≠ 8\n所以点B''不在直线上\n\n第五步:求点B''(1,8)到直线y = -x + 4的距离\n将直线化为标准形式:x + y - 4 = 0\n点到直线距离公式:d = |Ax₀ + By₀ + C| \/ √(A² + B²)\n其中A=1, B=1, C=-4, (x₀,y₀)=(1,8)\nd = |1×1 + 1×8 - 4| \/ √(1² + 1²) = |1 + 8 - 4| \/ √2 = |5| \/ √2 = 5√2 \/ 2\n\n最终答案:b = 4,点B''不在直线上,点B''到直线的距离为5√2 \/ 2。","explanation":"本题综合考查平面直角坐标系中的图形变换(平移与旋转)、点的坐标变换规律、一次函数的解析式求解以及点到直线的距离公式。解题关键在于掌握平移和旋转变换的坐标变化规则:平移是坐标的加减,旋转90°逆时针使用公式(x,y)→(-y,x)。通过逐步变换得到新坐标后,利用点在直线上的条件求出参数b,再判断另一点是否在直线上,若不在则应用点到直线距离公式计算。整个过程涉及多个知识点的串联应用,逻辑性强,计算要求准确,属于困难难度。","options":[]},{"id":2313,"content":"在一次校园绿化项目中,工人师傅需要在一块矩形空地的对角线上铺设一条石板路。已知这块空地的长为8米,宽为6米。为了估算石板数量,需要先计算对角线的长度。根据勾股定理,这条对角线的长度最接近以下哪个值?","type":"选择题","subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","difficulty":"简单","answer":"B","explanation":"本题考查勾股定理在矩形对角线计算中的应用。矩形对角线将矩形分成两个直角三角形,其中两条直角边分别为矩形的长和宽。根据勾股定理:对角线² = 长² + 宽² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100。因此,对角线 = √100 = 10(米)。故正确答案为B。","options":[{"id":"A","content":"9米"},{"id":"B","content":"10米"},{"id":"C","content":"11米"},{"id":"D","content":"12米"}]}]