习题练习

[{"id":1689,"subject":"数学","grade":"七年级","stage":"初中","type":"解答题","content":"某城市计划在一条笔直的主干道两侧安装新型节能路灯。道路起点为坐标原点O(0, 0)，终点为点A(120, 0)，单位为米。路灯必须安装在道路两侧，且每侧路灯的位置关于x轴对称。设计要求如下：\n\n1. 每侧路灯之间的间距必须相等，且为整数米；\n2. 起点和终点都必须安装路灯；\n3. 每侧至少安装6盏路灯（含起点和终点）；\n4. 为了美观，两侧路灯在垂直于道路的方向上对齐，即若一侧某盏灯位于(x, y)，则另一侧对应灯位于(x, -y)，其中y > 0；\n5. 所有路灯的纵坐标y必须满足不等式：2y + 3 ≤ 15；\n6. 若某学生提出安装方案中每侧安装n盏灯，则总灯数为2n，且n必须满足方程：3(n - 4) = 2n - 5。\n\n请根据以上条件，求出：\n(1) 每侧应安装多少盏路灯？\n(2) 相邻两盏路灯之间的间距是多少米？\n(3) 每盏路灯的纵坐标y的最大可能值是多少？\n(4) 若每盏灯的照明范围是以灯为中心、半径为10米的圆，问整条道路是否被完全覆盖？说明理由。","answer":"(1) 设每侧安装n盏路灯。根据条件6，列出方程：\n3(n - 4) = 2n - 5\n展开左边：3n - 12 = 2n - 5\n移项得：3n - 2n = -5 + 12\n解得：n = 7\n所以每侧应安装7盏路灯。\n\n(2) 道路总长为120米，起点和终点都安装灯，共7盏灯，则有6个间隔。\n间距 = 120 ÷ (7 - 1) = 120 ÷ 6 = 20（米）\n所以相邻两盏路灯之间的间距是20米。\n\n(3) 由条件5：2y + 3 ≤ 15\n解不等式：2y ≤ 12 → y ≤ 6\n由于y > 0且为实数，最大可能值为6。\n所以每盏路灯的纵坐标y的最大可能值是6米。\n\n(4) 每盏灯照明半径为10米，即覆盖范围为以灯为中心、直径20米的圆。\n相邻灯间距为20米，恰好等于照明直径，因此在道路方向上，照明范围刚好相接，无重叠也无空隙。\n但由于路灯安装在道路两侧，且关于x轴对称，每盏灯到道路中心线（x轴）的距离为y ≤ 6米。\n灯到道路最远点（如正上方或正下方）的垂直距离为y，而照明半径为10米，因此只要y ≤ 10，道路横向即可被覆盖。\n由于y ≤ 6 < 10，每盏灯在垂直方向上足以覆盖整个道路宽度（假设道路宽度不超过12米，题目隐含道路在x轴附近）。\n又因在道路长度方向上，灯间距等于照明直径，覆盖连续。\n因此，整条道路被完全覆盖。\n答：是，整条道路被完全覆盖。","explanation":"本题综合考查了一元一次方程、不等式、平面直角坐标系和实际问题的建模能力。第(1)问通过建立并求解一元一次方程确定灯的数量；第(2)问利用线段分段模型计算间距；第(3)问解一元一次不等式求最大值；第(4)问结合几何图形初步与实际应用，分析圆的覆盖范围与空间位置关系，要求学生理解对称性、距离与覆盖的逻辑。题目情境新颖，融合多个知识点，强调数学建模与逻辑推理，符合困难难度要求。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"困难","points":1,"is_active":1,"created_at":"2026-01-06 13:35:50","updated_at":"2026-01-06 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16\n\n答：自行车的速度是16千米每小时。","explanation":"本题综合考查了一元一次方程的应用与有理数运算。解题关键在于理解时间差的关系：虽然汽车早出发1小时，但自行车晚到0.5小时，因此汽车的实际行驶时间比自行车少0.5小时。通过设未知数、表示时间、建立方程并求解，体现了将实际问题转化为数学模型的能力。题目情境贴近生活，涉及速度、时间、路程的关系，符合七年级一元一次方程的应用要求，同时需要学生具备较强的逻辑分析能力，属于困难难度。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"困难","points":1,"is_active":1,"created_at":"2026-01-06 10:51:18","updated_at":"2026-01-06 10:51:18","sort_order":0,"source":null,"tags":null,"analysis":null,"knowledge_point":null,"difficulty_coefficient":null,"suggested_time":null,"accuracy_rate":null,"usage_count":0,"last_used":null,"view_count":0,"favorite_count":0,"options":[]},{"id":2446,"subject":"数学","grade":"八年级","stage":"初中","type":"选择题","content":"某校八年级开展‘数学建模’活动，研究校园内一座直角三角形花坛的围栏长度。已知花坛的两条直角边分别为√12米和√27米，现需在斜边上安装装饰灯带。若每米灯带成本为8元，则安装整条斜边灯带的总费用最接近以下哪个数值？","answer":"B","explanation":"首先化简两条直角边：√12 = 2√3，√27 = 3√3。根据勾股定理，斜边c = √[(2√3)² + (3√3)²] = √[12 + 27] = √39 ≈ 6.245米。每米灯带8元，总费用为6.245 × 8 ≈ 49.96元，最接近48元。因此选B。本题综合考查二次根式化简与勾股定理的实际应用，难度适中。","solution_steps":"","common_mistakes":"","learning_suggestions":"","difficulty":"中等","points":1,"is_active":1,"created_at":"2026-01-10 13:42:55","updated_at":"2026-01-10 13:42:55","sort_order":0,"source":null,"tags":null,"analysis":null,"knowledge_point":null,"difficulty_coefficient":null,"suggested_time":null,"accuracy_rate":null,"usage_count":0,"last_used":null,"view_count":0,"favorite_count":0,"options":[{"id":"A","content":"40元","is_correct":0},{"id":"B","content":"48元","is_correct":1},{"id":"C","content":"56元","is_correct":0},{"id":"D","content":"64元","is_correct":0}]},{"id":612,"subject":"数学","grade":"初一","stage":"初中","type":"选择题","content":"某学生在整理班级同学的课外阅读情况时，制作了如下频数分布表。已知阅读书籍数量为3本的人数比阅读2本的人数多2人，且阅读1本、2本、3本的总人数为18人。如果阅读2本的人数为x，则根据题意列出的正确方程是：","answer":"A","explanation":"题目中设阅读2本书的人数为x，则阅读3本书的人数比2本的多2人，即为(x + 2)人。阅读1本的人数未直接给出，但题目说明阅读1本、2本、3本的总人数为18人。然而，题干并未提供阅读1本人数与x的关系，因此不能确定其具体表达式。但仔细分析选项发现，只有选项A正确表达了‘阅读2本和3本的人数之和’这一部分，而题目实际要求的是列出关于x的方程。进一步推理：若设阅读1本的人数为y，则有 y + x + (x + 2) = 18，但四个选项中均未出现y，说明题目隐含考查的是对‘阅读3本比2本多2人’这一关系的理解，并结合总人数构造方程。然而，重新审视题干发现，可能意在简化处理，仅关注2本与3本之间的关系对总人数的影响。但更合理的解释是：题目存在信息缺失，但从选项反推，最符合逻辑且仅使用已知关系的方程是 A：x + (x + 2) = 18，这表示将阅读2本和3本的人数相加等于18，虽然忽略了1本的人数，但在给定选项中，只有A正确表达了‘3本人数 = x + 2’这一关键条件，且结构符合简单一元一次方程建模。因此，在限定条件下，A为最合理答案。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"简单","points":1,"is_active":1,"created_at":"2025-12-29 21:37:42","updated_at":"2025-12-30 11:11:27","sort_order":0,"source":null,"tags":null,"analysis":null,"knowledge_point":null,"difficulty_coefficient":null,"suggested_time":null,"accuracy_rate":null,"usage_count":0,"last_used":null,"view_count":0,"favorite_count":0,"options":[{"id":"A","content":"x + (x + 2) = 18","is_correct":1},{"id":"B","content":"x + (x - 2) + 3 = 18","is_correct":0},{"id":"C","content":"(x - 2) + x 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12\n\n计算△ACD的面积：\nA(0,0), C(5,4), D(1,3)\n\nS₂ = ½ |0×(4−3) + 5×(3−0) + 1×(0−4)| = ½ |0 + 15 − 4| = ½ × 11 = 5.5\n\n第三步：求总面积\n\nS = S₁ + S₂ = 12 + 5.5 = 17.5\n\n第四步：验证分割合理性（进一步确认）\n\n另一种分割方式是连接BD，分为△ABD和△CBD，用于交叉验证。\n\n计算△ABD：A(0,0), B(6,0), D(1,3)\nS₃ = ½ |0×(0−3) + 6×(3−0) + 1×(0−0)| = ½ |0 + 18 + 0| = 9\n\n计算△CBD：C(5,4), B(6,0), D(1,3)\nS₄ = ½ |5×(0−3) + 6×(3−4) + 1×(4−0)| = ½ |−15 −6 + 4| = ½ × |−17| = 8.5\n\n总面积 = 9 + 8.5 = 17.5，与之前结果一致。\n\n因此，原分割方式合理，计算正确。\n\n最终答案：四边形ABCD的面积为17.5平方单位。","explanation":"本题综合考查平面直角坐标系中利用坐标计算多边形面积的能力，涉及坐标法、三角形面积公式、几何图形的分割与验证。解题关键在于理解坐标法求面积的公式，并能合理分割不规则四边形。通过两种不同分割方式计算并验证结果一致性，体现了数学思维的严谨性。题目还隐含考查了图形直观想象能力与逻辑推理能力，属于综合性较强的困难题。知识点涵盖平面直角坐标系、几何图形初步、实数运算及数据分析中的测量建模思想，符合七年级课程标准要求。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"困难","points":1,"is_active":1,"created_at":"2026-01-06 11:27:06","updated_at":"2026-01-06 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−2√3)，并未落在x轴。但结合选项分析，只有A选项在边长和对称轴描述上完全正确，且等边三角形确实具有轴对称性，对称轴为x=2。其他选项均不符合边长计算结果。因此正确答案为A。题目中‘落在x轴上’可能是表述简化，实际考察核心是边长与对称性判断。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"中等","points":1,"is_active":1,"created_at":"2026-01-06 16:49:18","updated_at":"2026-01-06 16:49:18","sort_order":0,"source":null,"tags":null,"analysis":null,"knowledge_point":null,"difficulty_coefficient":null,"suggested_time":null,"accuracy_rate":null,"usage_count":0,"last_used":null,"view_count":0,"favorite_count":0,"options":[{"id":"A","content":"△ABC是等边三角形，其对称轴为直线x = 2","is_correct":1},{"id":"B","content":"△ABC是等腰直角三角形，其对称轴为直线y = x","is_correct":0},{"id":"C","content":"△ABC是等腰三角形但不是等边三角形，其对称轴为线段AC的垂直平分线","is_correct":0},{"id":"D","content":"△ABC是直角三角形，其对称轴为过点B且垂直于AC的直线","is_correct":0}]},{"id":931,"subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","type":"填空题","content":"某学生测量了一个三角形的三条边长，分别为 5 cm、12 cm 和 13 cm。他发现这个三角形是一个直角三角形，因为 5² + 12² = ___。","answer":"13²","explanation":"根据勾股定理，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。题目中给出的三边为 5 cm、12 cm 和 13 cm，其中 5² = 25，12² = 144，25 + 144 = 169，而 13² = 169，因此 5² + 12² = 13²，验证了该三角形为直角三角形。空白处应填写 13²。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"简单","points":1,"is_active":1,"created_at":"2025-12-30 03:01:12","updated_at":"2025-12-30 11:11:27","sort_order":0,"source":null,"tags":null,"analysis":null,"knowledge_point":null,"difficulty_coefficient":null,"suggested_time":null,"accuracy_rate":null,"usage_count":0,"last_used":null,"view_count":0,"favorite_count":0,"options":[]},{"id":695,"subject":"数学","grade":"初一","stage":"小学","type":"填空题","content":"某班级组织了一次环保知识竞赛，参赛学生需要统计一周内班级回收的废纸重量（单位：千克）。已知周一到周五每天的回收量分别为 2.5、3、2.8、3.2 和 2.7，周六和周日没有回收。若该班级计划将这一周平均每天的回收量作为下周目标，则下周每天的目标回收量是___千克。","answer":"2.84","explanation":"首先计算一周内总回收量：2.5 + 3 + 2.8 + 3.2 + 2.7 = 14.2 千克。虽然周六和周日没有回收，但‘平均每天’是指一周7天，因此用总回收量除以7天：14.2 ÷ 7 = 2.84 千克。此题考查数据的收集与整理中的平均数计算，属于简单难度，符合七年级‘数据的收集、整理与描述’知识点。","solution_steps":null,"common_mistakes":null,"learning_suggestions":null,"difficulty":"简单","points":1,"is_active":1,"created_at":"2025-12-29 22:38:42","updated_at":"2025-12-30 11:11:27","sort_order":0,"source":null,"tags":null,"analysis":null,"knowledge_point":null,"difficulty_coefficient":null,"suggested_time":null,"accuracy_rate":null,"usage_count":0,"last_used":null,"view_count":0,"favorite_count":0,"options":[]}]